Триизмерен куб в четириизмерно пространство. Хиперкуб

19 септември 2009 г
Тесеракт (от старогръцки τέσσερες ἀκτῖνες – четири лъча) е четириизмерен хиперкуб – аналог на куб в четириизмерното пространство.

Изображението е проекция (перспектива) четириизмерен кубв триизмерното пространство.

Според Оксфордския речник думата „тесеракт“ е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853–1907) в книгата му Нова ерамисли". По-късно някои хора наричат същата фигура "тетракуб".

Геометрия

Един обикновен тесеракт в евклидовото четириизмерно пространство се дефинира като изпъкнала обвивка от точки (±1, ±1, ±1, ±1). С други думи, той може да бъде представен като следния набор:

Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини, чието пресичане със самия тесеракт определя неговите триизмерни лица (които са обикновени кубове). Всяка двойка непаралелни 3D лица се пресичат, за да образуват 2D лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 3D лица, 24 2D лица, 32 ръба и 16 върха.

Популярно описание

Нека се опитаме да си представим как ще изглежда един хиперкуб, без да напускаме триизмерното пространство.

В едномерно „пространство“ - на линия - избираме сегмент AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB, начертаваме успореден на него сегмент DC и свързваме краищата им. Резултатът е квадрат ABCD. Повтаряйки тази операция с равнината, получаваме триизмерен куб ABCDHEFG. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Едномерният сегмент AB служи като страна на двумерния квадрат ABCD, квадратът - като страна на куба ABCDHEFG, който от своя страна ще бъде страната на четиримерния хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, а кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 на изместения в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а други 8 ръба "начертават" неговите осем върха, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуб. В двумерното пространство има само едно (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири, които описват страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от неговите дванадесет ръба.

Разопаковане на Тесеракт

Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на ръба. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (нейните близки и далечни ръбове), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите „кутии“ - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху „нашето“ пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират в четвъртото измерение. Можете също да опитате да си представите куба не в проекция, а в пространствено изображение.

Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен по дължината на лицето си, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в перспектива ще изглеждат като доста сложна фигура. Частта, останала в „нашето“ пространство, е начертана с плътни линии, а частта, която е преминала в хиперпространството, е начертана с пунктирани линии. Самият четириизмерен хиперкуб се състои от безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.

Като изрежете шестте лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура - развитие. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. И триизмерното развитие на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, „израстващи“ от него, плюс още един - окончателното „хиперлице“.

Свойствата на тесеракта са продължение на свойствата геометрични формипо-малко измерение в четириизмерно пространство.

Проекции

Към двуизмерното пространство

Тази структура е трудна за представяне, но е възможно да се проектира тесеракт в двуизмерни или триизмерни пространства. В допълнение, проектирането върху равнина улеснява разбирането на местоположението на върховете на хиперкуба. По този начин е възможно да се получат изображения, които вече не отразяват пространствените отношения в рамките на тесеракта, но които илюстрират структурата на върховата връзка, както в следните примери:

Към триизмерното пространство

Проекцията на тесеракт върху триизмерното пространство представлява два вложени триизмерни куба, чиито съответни върхове са свързани с сегменти. Вътрешните и външните кубове имат различни размерив триизмерното пространство, но в четириизмерното пространство е така равни кубчета. За да се разбере равенството на всички тесерактни кубове, беше създаден въртящ се модел на тесеракт.

Шестте пресечени пирамиди по ръбовете на тесеракта са изображения на равни шест куба.
Стерео двойка

Стерео двойка тесеракт е изобразена като две проекции върху триизмерното пространство. Това изображение на тесеракта е проектирано да представя дълбочината като четвърто измерение. Стерео двойката се разглежда така, че всяко око вижда само едно от тези изображения, появява се стереоскопична картина, която възпроизвежда дълбочината на тесеракта.

Разопаковане на Тесеракт

Повърхността на тесеракт може да се разгъне на осем куба (подобно на това как повърхността на куб може да се разгъне на шест квадрата). Има 261 различни дизайна на тесеракт. Разгъването на тесеракта може да се изчисли чрез начертаване на свързаните ъгли върху графика.

Тесеракт в изкуството

В "New Abbott Plain" на Едуина А. хиперкубът действа като разказвач.
В един епизод от „Приключенията на Джими Неутрон: „Момчето гений“, Джими изобретява четириизмерен хиперкуб, идентичен на сгъваемата кутия от романа на Хайнлайн от 1963 г. Пътят на славата.
Робърт Е. Хайнлайн споменава хиперкубовете в поне три научнофантастични истории. В Къщата на четирите измерения (The House That Teal Built) (1940) той описва къща, построена като разопакован тесеракт.
Романът на Хайнлайн „Пътят на славата“ описва съдове с хипер размери, които са по-големи отвътре, отколкото отвън.
Разказът на Хенри Кутнър „Mimsy Were the Borogoves“ описва образователна играчка за деца от далечното бъдеще, подобна по структура на тесеракт.
В романа на Алекс Гарланд (1999) терминът "тесеракт" се използва за триизмерното разгръщане на четириизмерен хиперкуб, а не за самия хиперкуб. Това е метафора, предназначена да покаже, че когнитивната система трябва да бъде по-широка от познаваемото.
Сюжетът на Cube 2: Hypercube се съсредоточава върху осем непознати, хванати в „хиперкуб“ или мрежа от свързани кубове.
Телевизионният сериал Андромеда използва генератори на тесеракт като сюжетно устройство. Те са предназначени предимно да манипулират пространството и времето.
Картина „Разпятието“ (Corpus Hypercubus) от Салвадор Дали (1954)
Комиксът Nextwave изобразява превозно средство, което включва 5 тесерактни зони.
В албума Voivod Nothingface една от композициите се казва „В моя хиперкуб“.
В романа Route Cube на Антъни Пиърс една от орбиталните луни на Международната асоциация за развитие се нарича тесеракт, който е компресиран в 3 измерения.
В поредицата "Училище" Черна дупка“” в третия сезон има епизод “Тесеракт”. Лукас натиска таен бутон и училището започва да се оформя като математически тесеракт.
Терминът „тесеракт“ и неговият производен термин „тесерат“ се срещат в разказа „Бръчка във времето“ от Мадлен Л’Енгъл.

Еволюцията на човешкия мозък се е състояла в триизмерното пространство. Следователно ни е трудно да си представим пространства с размери, по-големи от три. Всъщност човешкият мозък не може да си представи геометрични обекти с размери, по-големи от три. И в същото време можем лесно да си представим геометрични обекти с размери не само три, но и с размери две и едно.

Разликата и аналогията между едноизмерните и двуизмерните пространства, както и разликата и аналогията между двуизмерните и триизмерните пространства ни позволяват леко да отворим екрана на мистерията, който ни огражда от пространства с по-високи измерения. За да разберете как се използва тази аналогия, помислете за много прост четириизмерен обект - хиперкуб, тоест четириизмерен куб. За да бъдем конкретни, да речем, че искаме да решим конкретен проблем, а именно да преброим броя на квадратните лица на четириизмерен куб. Цялото по-нататъшно разглеждане ще бъде много небрежно, без никакви доказателства, чисто по аналогия.

За да разберете как един хиперкуб е изграден от правилен куб, първо трябва да разгледате как един правилен куб е изграден от правилен квадрат. За по-голяма оригиналност при представянето на този материал тук ще наричаме обикновен квадрат SubCube (и няма да го бъркаме със сукуб).

За да изградите куб от подкуб, трябва да разширите подкуба в посока, перпендикулярна на равнината на подкуба в посока на третото измерение. В този случай от всяка страна на първоначалния подкуб ще расте подкуб, който е страничната двуизмерна повърхност на куба, която ще ограничи триизмерния обем на куба от четири страни, две перпендикулярни на всяка посока в равнина на подкуба. А по новата трета ос също има два подкуба, които ограничават триизмерния обем на куба. Това е двуизмерното лице, където нашият подкуб първоначално беше разположен, и това двуизмерно лице на куба, където подкубът дойде в края на конструкцията на куба.

Това, което току-що прочетохте, е представено твърде подробно и с много уточнения. И има защо. Сега ще направим този трик, ще заменим някои думи в предишния текст официално по този начин:
куб -> хиперкуб
подкуб -> куб
равнина -> обем
трети -> четвърти
двуизмерен -> триизмерен
четири -> шест
триизмерен -> четириизмерен
две -> три
равнина -> пространство

В резултат на това получаваме следния смислен текст, който вече не изглежда прекалено подробен.

За да изградите хиперкуб от куб, трябва да разширите куба в посока, перпендикулярна на обема на куба в посока на четвъртото измерение. В този случай по един куб ще израсне от всяка страна на оригиналния куб, което е страничната триизмерна повърхност на хиперкуба, което ще ограничи четириизмерния обем на хиперкуба от шест страни, три перпендикулярни на всяка посока в пространство на куба. А по новата четвърта ос също има два куба, които ограничават четириизмерния обем на хиперкуба. Това е триизмерното лице, където първоначално беше разположен нашият куб, и триизмерното лице на хиперкуба, където кубът дойде в края на конструкцията на хиперкуба.

Защо сме толкова уверени, че сме получили правилното описание на конструкцията на хиперкуб? Да, защото чрез абсолютно същата формална замяна на думи получаваме описание на конструкцията на куб от описание на конструкцията на квадрат. (Проверете го сами.)

Сега е ясно, че ако друг триизмерен куб трябва да расте от всяка страна на куба, тогава лице трябва да расте от всеки ръб на първоначалния куб. Общо кубът има 12 ръба, което означава, че на тези 6 куба ще се появят допълнителни 12 нови лица (подкуби), които ограничават четириизмерния обем по трите оси на триизмерното пространство. И остават още два куба, които ограничават този четириизмерен обем отдолу и отгоре по четвъртата ос. Всяко от тези кубчета има 6 лица.

Като цяло откриваме, че хиперкубът има 12+6+6=24 квадратни лица.

Следващата снимка показва логическата структура на хиперкуб. Това е като проекция на хиперкуб върху триизмерното пространство. Това създава триизмерна рамка от ребра. На фигурата естествено виждате проекцията на тази рамка върху равнина.

На тази рамка вътрешният куб е като първоначалния куб, от който е започнала конструкцията и който ограничава четириизмерния обем на хиперкуба по четвъртата ос отдолу. Разтягаме този начален куб нагоре по четвъртата ос на измерване и той влиза във външния куб. Така че външният и вътрешният куб от тази фигура ограничават хиперкуба по четвъртата ос на измерване.

И между тези две кубчета можете да видите още 6 нови кубчета, които докосват общи лица с първите две. Тези шест куба ограничават нашия хиперкуб по трите оси на триизмерното пространство. Както можете да видите, те не само са в контакт с първите два куба, които са вътрешните и външните кубове на тази триизмерна рамка, но също така са в контакт един с друг.

Можете да преброите директно във фигурата и да се уверите, че хиперкубът наистина има 24 лица. Но възниква този въпрос. Тази рамка на хиперкуб в триизмерно пространство е изпълнена с осем триизмерни куба без никакви пропуски. За да направите истински хиперкуб от тази триизмерна проекция на хиперкуб, трябва да обърнете тази рамка отвътре навън, така че всичките 8 куба да ограничават 4-измерен обем.

Прави се така. Каним обитател на четириизмерното пространство да ни посети и го молим да ни помогне. Той хваща вътрешния куб на тази рамка и го премества в посока на четвъртото измерение, което е перпендикулярно на нашето триизмерно пространство. В нашето триизмерно пространство ние го възприемаме така, сякаш цялата вътрешна рамка е изчезнала и е останала само рамката на външния куб.

Освен това нашият четириизмерен асистент предлага помощта си в родилните домове за безболезнено раждане, но нашите бременни жени са уплашени от перспективата, че бебето просто ще изчезне от стомаха и ще се озове в паралелно триизмерно пространство. Затова четириизмерният човек получава учтив отказ.

И ние сме озадачени от въпроса дали някои от нашите кубове са се разпаднали, когато сме обърнали рамката на хиперкуба отвътре навън. В края на краищата, ако някои триизмерни кубове, заобикалящи хиперкуб, докоснат своите съседи по рамката с лицата си, ще се докоснат ли те също със същите лица, ако четириизмерният куб обърне рамката отвътре навън?

Нека отново се обърнем към аналогията с пространствата с по-ниска размерност. Сравнете изображението на рамката на хиперкуба с проекцията на триизмерен куб върху равнина, показана на следващата снимка.

Жителите на двуизмерното пространство построиха рамка върху равнина за проекция на куб върху равнина и поканиха нас, триизмерните жители, да обърнем тази рамка отвътре навън. Взимаме четирите върха на вътрешния квадрат и ги преместваме перпендикулярно на равнината. Двуизмерните жители виждат пълното изчезване на всичко вътрешна рамка, и те имат само рамката на външния квадрат. При такава операция всички квадрати, които са били в контакт с ръбовете си, продължават да се допират със същите ръбове.

Затова се надяваме, че логическата схема на хиперкуба също няма да бъде нарушена при обръщане на рамката на хиперкуба отвътре навън и броят на квадратните лица на хиперкуба няма да се увеличи и все още ще бъде равен на 24. Това, разбира се , изобщо не е доказателство, а чисто предположение по аналогия.

След всичко, което прочетохте тук, можете лесно да начертаете логическата рамка на петизмерен куб и да изчислите броя на върховете, ръбовете, лицата, кубовете и хиперкубовете, които има. Изобщо не е трудно.

τέσσαρες ἀκτίνες - четири лъча) - 4-измерен Хиперкуб- аналог в 4-измерното пространство.

Изображението е проекция () на четириизмерен куб върху триизмерно пространство.

Нарича се обобщение на куба за случаи с повече от 3 измерения хиперкуб или (en:измерете политопи). Формално хиперкубът се дефинира като четири равни сегмента.

Тази статия описва основно 4-измерното хиперкуб, наречена тесеракт.

Популярно описание

Нека се опитаме да си представим как ще изглежда един хиперкуб, без да напускаме нашето триизмерно пространство.

В едномерно “пространство” - на права - избираме AB с дължина L. В двумерно пространство, на разстояние L от AB, чертаем успоредна на него отсечка DC и свързваме краищата им. Резултатът е квадрат ABCD. Повтаряйки тази операция с равнината, получаваме триизмерен куб ABCDHEFG. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три!) с разстояние L, получаваме хиперкуб.

Едномерен сегмент AB служи като лице на двуизмерен квадрат ABCD, квадратът служи като страна на куб ABCDHEFG, който от своя страна ще бъде страна на четириизмерен хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 на изместения в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а други 8 ръба "начертават" неговите осем върха, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуб. В двумерното пространство има само едно (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири, които описват страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от неговите дванадесет ръба.

По подобен начин можем да продължим нашите разсъждения за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как ще изглежда за нас, жителите на триизмерното пространство. четириизмерен хиперкуб. За целта ще използваме вече познатия метод на аналогиите.

Като изрежете осемте лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура - развитие. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице, плюс още един - лицето срещу него. И триизмерното развитие на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, „израстващи“ от него, плюс още един - окончателното „хиперлице“.

Свойствата на тесеракта са продължение на свойствата на геометричните фигури с по-ниско измерение в 4-измерното пространство, представени в таблицата по-долу.

Какво е хиперкуб и четириизмерно пространство

Нашето обичайно пространство има три измерения. От геометрична гледна точка това означава, че в него могат да бъдат посочени три взаимно перпендикулярни прави. Тоест за всяка линия можете да намерите втора линия, перпендикулярна на първата, а за двойка можете да намерите трета линия, перпендикулярна на първите две. Вече няма да е възможно да се намери четвърта линия, перпендикулярна на съществуващите три.

Четириизмерното пространство се различава от нашето само по това, че има още една допълнителна посока. Ако вече имате три взаимно перпендикулярни линии, тогава можете да намерите четвърта, така че да е перпендикулярна и на трите.

Хиперкубът е просто куб в четириизмерно пространство.
Възможно ли е да си представим четириизмерно пространство и хиперкуб?

Този въпрос е свързан с въпроса: „Възможно ли е да си представим Тайната вечеря, като гледаме едноименната картина (1495-1498) на Леонардо да Винчи (1452-1519)?“

От една страна, вие, разбира се, няма да си представите какво е видял Исус (той седи с лице към зрителя), особено след като няма да помиришете градината извън прозореца и да опитате храната на масата, няма да чуете птиците пеене... Няма да получите пълна представа за случващото се вечерта, но не може да се каже, че няма да научите нищо ново и че картината не представлява интерес.

Подобно е положението и с въпроса за хиперкуба. Невъзможно е да си го представите напълно, но можете да се доближите до разбирането какво представлява.
Изграждане на хиперкуб
0-измерен куб

Да започнем отначало - с 0-измерен куб. Този куб съдържа 0 взаимно перпендикулярни стени, тоест той е просто точка.

1-измерен куб

В едномерното пространство имаме само една посока. Преместваме точката в тази посока и получаваме отсечка.

Това е едномерен куб.
двуизмерен куб

Имаме второ измерение, изместваме нашия едномерен куб (сегмент) по посока на второто измерение и получаваме квадрат.

Това е куб в двумерно пространство.
3-измерен куб

С появата на третото измерение правим същото: преместваме квадрата и получаваме правилен триизмерен куб.

4-измерен куб (хиперкуб)

Сега имаме четвърто измерение. Тоест имаме на разположение посока, перпендикулярна на трите предишни. Нека го използваме точно по същия начин. Четириизмерен куб ще изглежда така.

Естествено, триизмерни и четириизмерни кубове не могат да бъдат изобразени на двуизмерна равнина на екрана. Това, което нарисувах, са проекции. Ще поговорим за прогнозите малко по-късно, но засега малко факти и цифри.
Брой върхове, ръбове, лица
Характеристики на кубчета с различни размери
1-измерение на пространството
2-брой върхове
3-брой ръбове
4-брой лица

0 (точка) 1 0 0
1 (сегмент) 2 1 2 (точки)
2 (квадрат) 4 4 4 (сегменти)
3 (куб) 8 12 6 (квадрати)
4 (хиперкуб) 16 32 8 (кубове)
N ( обща формула) 2N N 2N-1 2 N

Моля, обърнете внимание, че лицето на хиперкуба е нашият обикновен триизмерен куб. Ако се вгледате внимателно в чертежа на хиперкуб, всъщност можете да намерите осем куба.
Проекции и визия на обитател на четириизмерното пространство
Няколко думи за визията

Ние живеем в триизмерен свят, но го виждаме като двуизмерен. Това се дължи на факта, че ретината на очите ни е разположена в равнина, която има само две измерения. Ето защо можем да възприемаме двуизмерни картини и да ги намираме за подобни на реалността. (Разбира се, благодарение на акомодацията, окото може да оцени разстоянието до даден обект, но това е страничен ефект, свързан с оптиката, вградена в очите ни.)

Очите на обитателя на четириизмерното пространство трябва да имат триизмерна ретина. Такова същество може веднага да види цялата триизмерна фигура: всичките й лица и вътрешности. (По същия начин можем да видим двуизмерна фигура, всичките й лица и вътрешности.)

По този начин, с помощта на нашите зрителни органи, ние не сме в състояние да възприемем четириизмерен куб така, както би го възприел жител на четириизмерно пространство. уви Остава само да разчитате на ума и въображението си, които, за щастие, нямат физически ограничения.

Но когато изобразявам хиперкуб на равнина, аз просто съм принуден да направя неговата проекция върху двумерното пространство. Вземете предвид този факт, когато изучавате чертежите.
Крайни пресичания

Естествено, ръбовете на хиперкуба не се пресичат. Пресечните точки се появяват само на чертежи. Това обаче не трябва да е изненада, защото ръбовете на правилен куб на снимките също се пресичат.
Дължини на ръбовете

Струва си да се отбележи, че всички лица и ръбове на четириизмерен куб са равни. На фигурата те не са равни само защото са разположени под различни ъгликъм посоката на гледане. Въпреки това е възможно да се завърти хиперкуб, така че всички проекции да имат еднаква дължина.

Между другото, на тази фигура ясно се виждат осем куба, които са лицата на хиперкуб.
Хиперкубът е празен отвътре

Трудно е да се повярва, но между кубовете, които ограничават хиперкуба, има малко пространство (фрагмент от четириизмерно пространство).

За да разберем това по-добре, нека да разгледаме двуизмерна проекция на обикновен триизмерен куб (умишлено го направих малко схематичен).

Можете ли да познаете от него, че има малко място вътре в куба? Да, но само като използвате въображението си. Окото не вижда това пространство. Това се случва, защото ръбовете, разположени в третото измерение (които не могат да бъдат изобразени в плосък чертеж), сега са се превърнали в сегменти, разположени в равнината на чертежа. Вече не осигуряват обем.

Квадратите, ограждащи пространството на куба, се припокриваха. Но може да си представим, че в оригиналната фигура (триизмерен куб) тези квадрати са били разположени в различни равнини, а не един върху друг в една и съща равнина, както се случи на фигурата.

Ситуацията е абсолютно същата и с хиперкуб. Кубовете-лица на хиперкуб всъщност не се припокриват, както ни се струва на проекцията, а са разположени в четириизмерно пространство.
Измита

И така, жител на четириизмерното пространство може да види триизмерен обект от всички страни едновременно. Можем ли да видим триизмерен куб от всички страни едновременно? С окото - не. Но хората са измислили начин да изобразят всички лица на триизмерен куб едновременно върху плосък чертеж. Такова изображение се нарича сканиране.
Разработка на триизмерен куб

Вероятно всеки знае как се формира развитието на триизмерен куб. Този процес е показан в анимацията.

За по-голяма яснота ръбовете на стените на куба са полупрозрачни.

Трябва да се отбележи, че ние сме в състояние да възприемем тази двуизмерна картина само благодарение на нашето въображение. Ако разгледаме фазите на разгръщане от чисто двуизмерна гледна точка, процесът ще изглежда странен и никак не ясен.

Изглежда като постепенно появяване на първо очертанията на изкривени квадрати, а след това тяхното пълзене на място, като едновременно с това приемат необходимата форма.

Ако погледнете разгъващия се куб по посока на една от неговите страни (от тази гледна точка кубът изглежда като квадрат), тогава процесът на образуване на разгъвката е още по-малко ясен. Всичко изглежда като квадрати, пълзящи от първоначалния квадрат (не от разгънатия куб).

Но сканирането не е визуално само за очите. Благодарение на вашето въображение можете да извлечете много информация от него.
Разработка на четириизмерен куб

Просто е невъзможно да се направи анимираният процес на разгръщане на хиперкуб поне малко визуален. Но този процес може да си представим. (За да направите това, трябва да го погледнете през очите на четириизмерно същество.)

Сканирането изглежда така.

Всичките осем куба, ограничаващи хиперкуба, се виждат тук.

Ръбовете, които трябва да се изравнят при сгъване, са боядисани със същите цветове. Лицата, чиито двойки не се виждат, са оставени сиви. След сгъване най-горната страна на горния куб трябва да се подравни с долния ръб на долния куб. (Разгъването на триизмерен куб се свива по подобен начин.)

Моля, обърнете внимание, че след навиване всички лица на осемте куба ще влязат в контакт, затваряйки хиперкуба. И накрая, когато си представяте процеса на сгъване, не забравяйте, че при сгъването не се получава застъпване на кубчета, а тяхното увиване около определена (хиперкубична) четириизмерна област.

Салвадор Дали (1904-1989) изобразява разпятието много пъти и кръстове се появяват в много от неговите картини. Картината „Разпятието“ (1954) използва сканиране на хиперкуб.
Пространство-време и Евклидово четириизмерно пространство

Надявам се, че успяхте да си представите хиперкуба. Но успяхте ли да се доближите до разбирането как работи четириизмерното пространство-време, в което живеем? Уви, не съвсем.

Тук говорихме за евклидовото четириизмерно пространство, но пространство-времето има напълно различни свойства. По-специално, по време на всяко завъртане, сегментите винаги остават наклонени спрямо времевата ос, или под ъгъл, по-малък от 45 градуса, или под ъгъл, по-голям от 45 градуса.

ИЗТОЧНИК 2

Тесерактът е четириизмерен хиперкуб, аналог на куб в четириизмерното пространство. Според Оксфордския речник думата "тесеракт" е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му Нова ера на мисълта. По-късно някои хора наричат същата фигура "тетракуб".

Нека се опитаме да си представим как ще изглежда един хиперкуб, без да напускаме триизмерното пространство.
В едномерно „пространство“ - на линия - избираме сегмент AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB, начертаваме успореден на него сегмент DC и свързваме краищата им. Резултатът е квадрат ABCD. Повтаряйки тази операция с равнината, получаваме триизмерен куб ABCDHEFG. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба ABCDEFGHIJKLMNOP.

По подобен начин можем да продължим нашите разсъждения за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как четириизмерният хиперкуб ще изглежда за нас, жителите на триизмерното пространство. За целта ще използваме вече познатия метод на аналогиите.
Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на ръба. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (нейните близки и далечни ръбове), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите „кутии“ - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху „нашето“ пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират в четвъртото измерение. Можете също да опитате да си представите куба не в проекция, а в пространствено изображение.

Други имена
Хексадекахорон
Октахорон
Тетракуб
4-куб
Хиперкуб (ако броят на измеренията не е посочен)

10-измерно пространство
На английски е за тези, които не знаят, снимките го правят доста ясно

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Геометрия

Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини, чието пресичане със самия тесеракт определя неговите триизмерни лица (които са обикновени кубове). Всяка двойка непаралелни 3D лица се пресичат, за да образуват 2D лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 3D лица, 24 2D лица, 32 ръба и 16 върха.

Проекции

Към двуизмерното пространство

Третата снимка показва тесеракта в изометрия, спрямо строителната точка. Това представяне е от интерес, когато се използва тесеракт като основа за топологична мрежа за свързване на множество процесори в паралелни изчисления.

Към триизмерното пространство

Една от проекциите на тесеракта върху триизмерното пространство представлява два вложени триизмерни куба, чиито съответни върхове са свързани с сегменти. Вътрешният и външният куб имат различни размери в триизмерното пространство, но в четириизмерното пространство те са еднакви кубове. За да се разбере равенството на всички тесерактни кубове, беше създаден въртящ се модел на тесеракт.

шест пресечени пирамидипо ръбовете на тесеракта са изображения на равни шест куба. Въпреки това, тези кубове са за тесеракт, както квадратите (лицата) са за куб. Но всъщност тесерактът може да бъде разделен на безкраен брой кубчета, точно както кубът може да бъде разделен на безкраен брой квадрати или квадратът на безкраен брой сегменти.

Друга интересна проекция на тесеракта върху триизмерното пространство е ромбичен додекаедър с четири диагонала, свързващи двойки противоположни върхове под големи ъгли на ромбовете. В този случай 14 от 16-те върха на тесеракта се проектират в 14 върха на ромбичния додекаедър, а проекциите на останалите 2 съвпадат в центъра му. При такава проекция върху триизмерното пространство се запазва равенството и паралелността на всички едномерни, двумерни и триизмерни страни.

Стерео двойка

Разопаковане на Тесеракт

Тесеракт в изкуството

В "New Abbott Plain" на Едуина А. хиперкубът действа като разказвач.
В един епизод от „Приключенията на Джими Неутрон“, „момчето гений“ Джими изобретява четириизмерен хиперкуб, идентичен на сгъваемата кутия от романа „Пътят на славата“ (1963) от Робърт Хайнлайн.
Робърт Е. Хайнлайн споменава хиперкубовете в поне три научнофантастични истории. В „Къщата на четирите измерения“ („The House That Teal Built“) той описва къща, построена като неопакован тесеракт, а след това, поради земетресение, „сгъната“ в четвъртото измерение и станала „истински“ тесеракт .
Романът на Хайнлайн „Пътят на славата“ описва свръхголяма кутия, която е по-голяма отвътре, отколкото отвън.
Разказът на Хенри Кутнер „Всички Тенали Борогов“ описва образователна играчка за деца от далечното бъдеще, подобна по структура на тесеракт.
В романа на Алекс Гарланд () терминът "тесеракт" се използва за триизмерното разгръщане на четириизмерен хиперкуб, а не за самия хиперкуб. Това е метафора, предназначена да покаже, че когнитивната система трябва да бъде по-широка от познаваемото.
Сюжетът на Cube 2: Hypercube се съсредоточава върху осем непознати, хванати в „хиперкуб“ или мрежа от свързани кубове.
Телевизионният сериал Андромеда използва генератори на тесеракт като сюжетно устройство. Те са предназначени предимно да манипулират пространството и времето.
Картина „Разпятието“ (Corpus Hypercubus) от Салвадор Дали ().
Комиксът Nextwave изобразява превозно средство, което включва 5 тесерактни зони.
В албума Voivod Nothingface една от композициите се казва „В моя хиперкуб“.
В романа Route Cube на Антъни Пиърс една от орбиталните луни на Международната асоциация за развитие се нарича тесеракт, който е компресиран в 3 измерения.
В сериала “Училище за черни дупки” в третия сезон има епизод “Тесеракт”. Лукас натиска таен бутон и училището започва да „приема форма като математически тесеракт“.
Терминът „тесеракт“ и производното му „тесеракт“ се срещат в разказа на Мадлен Л’Енгъл „Бръчка във времето“.
TesseracT е името на британска dgent група.
Във филмовата поредица Marvel Cinematic Universe Тесерактът е ключов елемент от сюжета, космически артефакт във формата на хиперкуб.
В разказа на Робърт Шекли „Мис Маус и четвъртото измерение“ писател езотерик, познат на автора, се опитва да види тесеракта, като се взира с часове в конструираното от него устройство: топка на крак с пръчки, забити в нея, на които са монтирани кубове, облепени с всякакви езотерични символи. Историята споменава работата на Хинтън.
Във филмите Първият отмъстител, Отмъстителите. Тесеракт - енергията на цялата вселена

Други имена

Хексадекахорон Хексадекахорон)
Octochoron (английски) Октахорон)
Тетракуб
4-куб
Хиперкуб (ако броят на измеренията не е посочен)

Бележки

Литература

Чарлз Х. Хинтън. Четвърто измерение, 1904 г. ISBN 0-405-07953-2
Мартин Гарднър, Математически карнавал, 1977 г. ISBN 0-394-72349-X
Иън Стюарт, Концепции на съвременната математика, 1995 г. ISBN 0-486-28424-7

Връзки

На руски

Програма Transformator4D. Формиране на модели на триизмерни проекции на четириизмерни обекти (включително Хиперкуб).
Програма, която реализира конструкцията на тесеракт и всички негови афинни трансформации, с изходен код на C++.

На английски