Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

При решаване на мн математически задачи , особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се редуцират до квадратни. Принципът за успешно решаване на всеки от споменатите проблеми е следният: необходимо е да се установи какъв тип проблем се решава, да се запомни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Ситуацията е различна при тригонометрични уравнения.Не е никак трудно да се установи, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

от външен видуравнение, понякога е трудно да се определи вида му. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решите тригонометрично уравнение, трябва да опитате:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до „едни и същи ъгли“;
2. приведе уравнението към „еднакви функции”;
3. множете лявата страна на уравнението и т.н.

Нека помислим основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Диаграма на решението

Стъпка 1.Експрес тригонометрична функциячрез известни компоненти.

Стъпка 2.Намерете аргумента на функцията, като използвате формулите:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3.Намерете неизвестната променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замяна на променливи

Диаграма на решението

Стъпка 1.Редуцирайте уравнението до алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2.Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4.Направете обратна замяна.

Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Диаграма на решението

Стъпка 1.Сменете дадено уравнениелинейно, използвайки формулите за намаляване на степента:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Диаграма на решението

Стъпка 1.Редуцирайте това уравнение до формата

а) a sin x + b cos x = 0 ( хомогенно уравнениепърва степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tan x:

а) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Стъпка 3.Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, което означава

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Диаграма на решението

Стъпка 1.Използвайки всякакви тригонометрични формули, редуцирайте това уравнение до уравнение, решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и умението за решаване на тригонометрични уравнения е много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

Много проблеми на стереометрията, физиката и т.н. са свързани с решаването на такива задачи, въплъщаващи много от знанията и уменията, които се придобиват чрез изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометрични уравнениязаемат важно място в процеса на обучение по математика и личностното развитие като цяло.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилен подход - съвсем вълнуваща дейност, като например решаването на кубче на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за по-голяма яснота ще използваме вече познатия тригонометричен кръг.

sinx = а

cos x = a

тен х = а

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.

1. Заместване на променливи и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да вървим в обратен ред

Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:

2. Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x – 1 = 0

Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека разложим на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

3. Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус на една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърлете всичките си членове от лявата страна;

б) извадете всички общи множители извън скоби;

в) приравнете всички множители и скоби на 0;

г) в скоби се получава еднородно уравнение от по-ниска степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус от по-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

4. Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Нека преместим всичко наляво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Нека разделим двете страни на уравнението на:



Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: техният модул е ​​не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x = C

или sin(x + ) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin C - + k, където



Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.

Решете уравнението sin 3x – cos 3x = 1

Коефициентите в това уравнение са:

a = , b = -1, така че разделете двете страни на = 2

При решаване на мн математически задачи, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът за успешно решаване на всеки от споменатите проблеми е следният: необходимо е да се установи какъв тип проблем се решава, да се запомни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Ситуацията е различна при тригонометрични уравнения.Не е никак трудно да се установи, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

Понякога е трудно да се определи неговият тип въз основа на появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решите тригонометрично уравнение, трябва да опитате:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до „едни и същи ъгли“;
2. приведе уравнението към „еднакви функции”;
3. множете лявата страна на уравнението и т.н.

Нека помислим основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Диаграма на решението

Стъпка 1.Изразете тригонометрична функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2.Намерете аргумента на функцията, като използвате формулите:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3.Намерете неизвестната променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замяна на променливи

Диаграма на решението

Стъпка 1.Редуцирайте уравнението до алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2.Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4.Направете обратна замяна.

Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Диаграма на решението

Стъпка 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулата за намаляване на степента:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Диаграма на решението

Стъпка 1.Редуцирайте това уравнение до формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tan x:

а) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Стъпка 3.Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, което означава

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Диаграма на решението

Стъпка 1.Използвайки всички възможни тригонометрични формули, редуцирайте това уравнение до уравнение, решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и умението за решаване на тригонометрични уравнения е много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

Много проблеми на стереометрията, физиката и т.н. са свързани с решаването на такива задачи, въплъщаващи много от знанията и уменията, които се придобиват чрез изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучение по математика и личностното развитие като цяло.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.