приложение №3

Урок 225.Рационални, ирационални, експоненциални и тригонометрични неравенства.

дата:

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията по тази тема.

Цели на урока:

обобщаване на знанията за решенията експоненциални неравенства. Подготовка за Единния държавен изпит;

формиране на адекватна самооценка и взаимооценка у учениците при работа в група;

развитие на математическата реч при коментиране на решения, при съставяне на алгоритми за изпълнение на задача; способност за преодоляване на трудности;умение за работа със справочна литература.

възпитание на взаимопомощ.

Знания, способности, умения и качества, които ще бъдат актуализирани/придобити/затвърдени/и др. ученици по време на урока:

систематизират знанията си по тази тема;

консолидиране на теоретични знания по тази тема;

прилагат знания в нестандартна ситуация.

Необходима екипировкаи материали:

Лаптопи за индивидуален тест, мултимедиен проектор;

презентация към урока;

материали за писане, раздавателни материали, листове за самооценка.

Методи на обучение:технология на проблемно-ситуационното обучение с помощта на етапа на казуса.

Стъпки на урока:

1.Org момент - 1 минута

2. формулиране на темата и целите на урока 1 минута

3. Актуализиране на основни знания. Блиц анкета. (3 мин.)

4. Резултати от блиц анкета - 2 минути

5. Проверка на домашните. Класиране. 3 минути

6.Домашна работа от диференциран характер с право на избор. 1 мин

7.Повторение на теорията и индуктор (прицелно изпълнение) 2 мин

8. Упражняване на умения за решаване. Работа със справочна литература. 5 неравенства 10 мин

9. Реклама 2 минути

10. Почивка. Непознати проблеми – 2 мин

11. решаване на тези задачи 4 минути

12. Рекламиране на решения на нови проблеми 4 мин

13. Рефлексия – 2 мин

14. Самочувствие 1 минута

Преди началото на урока учениците се настаняват на определени редици според трите нива на обучение. Моля, имайте предвид, че уменията по разглежданата тема не са сред задължителните изисквания за подготовка на учениците, следователно само по-подготвени ученици (групи 1 и 2) я изучават с мен.

Цел на урока.Анализирайте методите за решаване на ирационални неравенства на средно и по-високо нивосложност, разработване на референтни диаграми.

Етап 1 на урока - организационен (1 мин.)

Учителят казва на учениците темата на урока, целта и обяснява предназначението на листовете, които са на техните бюра.

Етап 2 на урока (5 мин.)

Устен преглед на работа за решаване на прости задачи по темата „Показател с рационален показател“

Учителят кани учениците да отговорят на въпроси последователно, като коментират отговора си с позоваване на съответния теоретичен факт.

Степен с рационален показател

Опростете: 1) 12m 4 /3m 8

2) 6s 3/7 + 4 (s 1/7) 3

3) (32x 2) 1/5 x 3/5

4) 2 4,6a 2 -1,6a

5) 2x 0,2 x -1,2

6) 4x 3/5 x 1/10

8) 2x 4/5 · 3x 1/5

9) (3x 2/5) 2 + 2x 4/5

10) 3x 1/2 x 3/2

Изчислете: 11) 4 3,2 m 4 -1,2 m, като m =1/4

12) 6 -5,6a 6 3,6a, с a = 1/2

13) 5 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4,4s 3 -6,4s, като c =1/2

15) 3x 2/5 x 3/5, с x = 2

Етап 3 на урока - проучване нова тема(20 мин.), лекция

Учителят кани 3-та група ученици да започнат да работят върху повторение с карти - консултанти по темата „Най-простият тригонометрични уравнения“ (тъй като изучаваният материал е с повишено ниво на сложност и не е задължителен). Учениците от група 3 са, като правило, ученици с лоша математическа подготовка, педагогически занемарени ученици. След изпълнение на задачата картите се разменят в групата. По-подготвените ученици започват да анализират нова тема.

Преди да се анализират методите за решаване на ирационални неравенства, на учениците трябва да се припомнят основните теоретични факти, въз основа на които ще бъдат изградени опорни схеми за еквивалентни преходи. В зависимост от нивото на подготовка на учениците, това може да бъде или устни отговори на въпросите на учителя, или съвместна работа между учителя и учениците, но във всеки случай в урока трябва да се каже следното.

Определение 1.Неравенства, които имат еднакъв набор от решения, се наричат ​​еквивалентни.

При решаване на неравенства даденото неравенство обикновено се трансформира в еквивалентно.

Например неравенството (x - 3)/(x 2 + 1) са еквивалентни, защото имат същия набор от решения: X. Неравенства 2x/(x - 1) 1 и 2x x - 1не са еквивалентни, т.к решенията на първото са решенията x 1, а решенията на второто са числата x -1.

Определение 2.Областта на дефиниране на неравенство е набор от стойности на x, за които и двете страни на неравенството имат смисъл.

Мотивация.Неравенствата сами по себе си представляват интерес за изследване, т.к именно с тяхна помощ те са написани на символичен език най-важните задачипознаване на реалността. Често неравенството е важно спомагателни, което ви позволява да докажете или опровергаете съществуването на всякакви обекти, да оцените техния брой и да извършите класификация. Следователно човек трябва да се занимава с неравенства не по-рядко, отколкото с уравнения.

Определение.Неравенства, съдържащи променлива под знака на корена, се наричат ​​ирационални.

Пример 1.√(5 - x)

Какъв е обхватът на неравенството?

При какво условие повдигането на квадрат на двете страни води до еквивалентно неравенство?

√(5 - x) 5 - x -11

Пример 2.√10 + x - x 2 ≥ 2 10 + x - x 2 ≥ 0 10 + x - x 2 ≥ 4

10 + x - x 2 ≥ 4

защото всяко решение на второто неравенство на системата е решение на първото неравенство.

Пример 3.Решете неравенства

б) √2x 2 + 5x - 3 ≤ 0 2x 2 + 5x - 3 = 0

Нека разгледаме три типични примера, от които ще стане ясно как да се правят еквивалентни преходи при решаване на неравенства, когато очевидното преобразуване не е еквивалентно.

Пример 1.√1 - 4x x + 11.

Бих искал, разбира се, да повдигна на квадрат и двете страни, за да получа квадратно неравенство. В този случай можем да получим неравенство, което не е еквивалентно. Ако разгледаме само онези х, за които и двете страни не са отрицателни (лявата страна очевидно е неотрицателна), тогава повдигането на квадрат пак ще бъде възможно. Но какво да правим с тези х, при които дясната страна е отрицателна? И не правете нищо, тъй като никое от тези x няма да бъде решение на неравенството: в крайна сметка за всяко решение на неравенството дясната страна е по-голяма от лявата, което е неотрицателно число и следователно е самата не е отрицателен. Така че следствието от нашето неравенство ще бъде такава система

1 - 4x (x + 11) 2

Тази система обаче не трябва да е еквивалентна на първоначалното неравенство. Областта на дефиниране на получената система е цялата числова линия, докато първоначалното неравенство е дефинирано само за онези x, за които 1 - 4x ≥ 0. Това означава, че ако искаме нашата система да бъде еквивалентна на неравенството, трябва да присвоим това условие:

Отговор: (- 6; ¼]

От силния ученик се иска да разсъждава общ изглед, това се случва

√f(x) g (x) f (x) ( g(x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0.

Ако първоначалното неравенство имаше знак ≤ вместо f (x) ≤ (g (x)) 2.

Пример 2.√x x - 2

Тук отново е възможно да се повдигнат на квадрат тези x, за които е изпълнено условието x - 2 ≥ 0, но вече не е възможно да се отхвърлят тези x, за които дясната страна е отрицателна: в края на краищата в този случай дясната страна ще бъде по-малка от очевидно неотрицателната лява страна, така че всички такива x ще бъдат решения на неравенствата. Но не всички, а тези, които влизат в обхвата на определението за неравенство, т.е. за които x ≥ 0. Какви случаи трябва да бъдат разгледани?

Случай 1: ако x - 2 ≥ 0, тогава нашето неравенство предполага системата

Случай 2: ако x - 2

При анализиране на случаите възниква сложно условие, наречено „тоталност“. Получаваме набор от две системи, еквивалентни на неравенство

Силният ученик е помолен да разсъждава в обща форма и ето какво се случва:

√f (x) g (x) f (x) (g (x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

g(x).

Ако вместо това първоначалното неравенство имаше знак ≥, тогава f (x) ≥ (g (x)) 2 трябваше да се приеме като първото неравенство на тази система.

Пример 3.√x 2 - 1 √x + 5.

Какво значение имат изразите отляво и отдясно?

Може ли да се постави на квадрат?

Какъв е обхватът на дефиницията на неравенствата?

Получаваме x 2 - 1 x + 5

Кое условие е излишно?

Така получаваме, че това неравенство е еквивалентно на системата

От силния ученик се иска да направи общо разсъждение, което ще доведе до следното:

√f (x) √g (x) f (x) g (x)

g(x) ≥ 0.

Помислете какво ще се промени, ако вместо първоначалното неравенство знакът ≥, ≤ или

На дъската са поставени 3 схеми за решение ирационални неравенства, още веднъж се обсъжда принципът на тяхното изграждане.

Етап 4 - консолидиране на знанията (5 мин.)

Учениците от група 2 са помолени да посочат коя система или комбинация от тях е еквивалентна на неравенство № 167 (Алгебра и началото на анализа 10-11 клас М, Образование, 2005, Ш. А. Алимов)

Двамата най-подготвени ученици от тази група трябва да решат неравенствата на дъската: № 1. √x 2 - 1 1

№ 2. √25 - x 2

Учениците от група 1 получават подобна задача, но повече високо нивосложност № 170 (Алгебра и начало на анализа 10-11 клас М, Образование, 2005, Ш. А. Алимов)

един от най-подготвените ученици от тази група е помолен да реши неравенството на дъската: √4x - x 2

Въпреки това на всички ученици е разрешено да използват бележки.

По това време учителят работи с учениците в група 3: отговаря на техните въпроси и помага, ако е необходимо; и контролира решаването на задачи на дъската.

След изтичане на времето на всяка група се дава лист за отговори за проверка (отговорите могат да бъдат показани на екрана с помощта на мултимедийната система).

Етап 5 от урока - обсъждане на решения на проблеми, представени на дъската (7 мин.)

Учениците, които са изпълнили задачите на дъската, коментират решенията си, а останалите правят корекции при необходимост и си правят бележки в тетрадките.

Етап 6 на урока - обобщаване на урока, коментари домашна работа(2 мин.)

Група 3 разменят карти в групата.

2 група № 168 (3, 4)

1 група № 169 (5), № 170 (6)

Всички задачи на B7, които някога съм виждал, бяха формулирани приблизително по същия начин: решаване на уравнение. В този случай самите уравнения принадлежат към един от трите типа:

1. Логаритмичен;
2. Показателен;
3. Ирационално.

Най-общо казано, пълноценното ръководство за всеки тип уравнение ще отнеме повече от дузина страници, което далеч надхвърля обхвата на Единния държавен изпит. Затова ще разгледаме само най-простите случаи, които изискват прости разсъждения и изчисления. Тези знания ще бъдат напълно достатъчни за решаване на всеки проблем B7.

В математиката терминът "реши уравнение" означава да се намери множеството от всички корени дадено уравнение, или докажете, че това множество е празно. Но можете да въведете само числа във формуляра за единен държавен изпит - без набори. Следователно, ако в задача B7 имаше повече от един корен (или, обратно, нито един), в решението е направена грешка.

Логаритмични уравнения

Логаритмично уравнение е всяко уравнение, което се свежда до формата log а f(х) = к, Къде а > 0, а≠ 1—основа на логаритъм, f(х) е произволна функция, к- някаква константа.

Това уравнение се решава чрез въвеждане на константата k под знака на логаритъма: к= дневник а а к. Основата на новия логаритъм е равна на основата на първоначалния. Получаваме дневника на уравнението а f(х) = дневник а а к, което се решава чрез отпадане на логаритъма.

Имайте предвид, че по условие а> 0, следователно f(х) = а к> 0, т.е. оригиналният логаритъм съществува.

Задача. Решете уравнението: log 7 (8 − х) = 2.

Решение. дневник 7 (8 − х) = 2 ⇔ log 7 (8 − х) = log 7 7 2 ⇔ 8 − х = 49 ⇔ х = −41.

Задача. Решете уравнението: log 0,5 (6 − х) = −2.

Решение. log 0,5 (6 − х) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − х) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − х = 4 ⇔ х = 2.

Но какво ще стане, ако първоначалното уравнение се окаже по-сложно от стандартния дневник а f(х) = к? След това го намаляваме до стандарта, като събираме всички логаритми от едната страна и числата от другата.

Ако в оригиналното уравнение има повече от един логаритъм, ще трябва да потърсите обхвата на допустимите стойности (ADV) на всяка функция под логаритъма. В противен случай могат да се появят допълнителни корени.

Задача. Решете уравнението: log 5 ( х+ 1) + log 5 ( х + 5) = 1.

Тъй като в уравнението има два логаритма, намираме ODZ:

1. х + 1 > 0 ⇔ х > −1
2. х + 5 > 0 ⇔ х > −5

Откриваме, че ODZ е интервалът (−1, +∞). Сега решаваме уравнението:

дневник 5 ( х+ 1) + log 5 ( х+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( х + 1)(х+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( х + 1)(х+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( х + 1)(х + 5) = 5 ⇔ х 2 + 6х + 5 = 5 ⇔ х (х + 6) = 0 ⇔ х 1 = 0, х 2 = −6.

но х 2 = −6 не отговаря на изискванията за DL. Това, което остава, е коренът х 1 = 0.

Експоненциални уравнения

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, което се свежда до формата а f(х) = к, Къде а > 0, а≠ 1 — основа на степента, f(х) е произволна функция, к- някаква константа.

Това определение повтаря почти дословно определението логаритмично уравнение. Експоненциалните уравнения са дори по-лесни за решаване от логаритмичните, тъй като тук не се изисква функцията f(х) беше положителен.

За да разрешим това, ще направим замяна к = а t, Къде t- най-общо казано, логаритъма ( t= дневник а к), но в Единния държавен изпит числата аИ кще бъдат избрани така, че да намерите tще бъде лесно. В полученото уравнение а f(х) = а tосновите са равни, което означава, че индикаторите са равни, т.е. f(х) = t. Решаването на последното уравнение обикновено не създава проблеми.

Задача. Решете уравнение: 7 х − 2 = 49.

Решение. 7 х − 2 = 49 ⇔ 7 х − 2 = 7 2 ⇔ х − 2 = 2 ⇔ х = 4.

Задача. Решете уравнението: 6 16 − х = 1/36.

Решение. 6 16 − х = 1/36 ⇔ 6 16 − х = 6 −2 ⇔ 16 − х = −2 ⇔ х = 18.

Малко за трансформацията експоненциални уравнения. Ако първоначалното уравнение е различно от а f(х) = k , прилагаме правилата за работа със степени:

1. а п · а м = а п + м ,
2. а п / а м = а п − м ,
3. (а п) м = а п · м .

Освен това трябва да знаете правилата за замяна на корени и дроби със степени с рационален показател:

Такива уравнения са изключително редки в Единния държавен изпит, но без тях анализът на задача B7 би бил непълен.

Задача. Решете уравнението: (5/7) х− 2 · (7/5) 2 х − 1 = 125/343

Обърнете внимание, че:

1. (7/5) 2х − 1 = ((5/7) −1) 2х − 1 = (5/7) 1 − 2х ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Имаме: (5/7) х− 2 · (7/5) 2 х − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) х− 2 · (5/7) 1 − 2 х = (5/7) 3 ⇔ (5/7) х − 2 + 1 − 2х = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −х − 1 = (5/7) 3 ⇔ −х − 1 = 3 ⇔ х = −4.

Ирационални уравнения

Под ирационално разбираме всяко уравнение, съдържащо знак за корен. От цялото разнообразие от ирационални уравнения ще разгледаме само най-простият случай, когато уравнението изглежда така:

За да решим това уравнение, повдигаме на квадрат двете страни. Получаваме уравнението f(х) = а 2. В този случай изискването за ODZ се изпълнява автоматично: f(х) ≥ 0, защото а 2 ≥ 0. Остава да се реши простото уравнение f(х) = а 2 .

Задача. Решете уравнението:

Повдигаме двете страни на квадрат и получаваме: 5 х − 6 = 8 2 ⇔ 5х − 6 = 64 ⇔ 5х = 70 ⇔ х = 14.

Задача. Решете уравнението:

Първо, както миналия път, повдигаме двете страни на квадрат. И след това добавете знак минус към числителя. Ние имаме:

Имайте предвид, че когато х= −4 под корена ще бъде положително число, т.е. Изискването на ОДЗ е изпълнено.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Остава все по-малко време до преминаване на Единния държавен изпит по математика. Обстановката се нажежава, нервите на ученици, родители, учители и възпитатели стават все по-опънати. Излитане нервно напрежениеЕжедневните задълбочени уроци по математика ще ви помогнат. В края на краищата, както знаем, нищо не ви зарежда с позитивизъм и не ви помага да положите изпити, както увереността във вашите способности и знания. Днес учител по математика ще ви разкаже за решаването на системи от логаритмични и експоненциални неравенства, задачи, които традиционно създават трудности за много съвременни ученици.

За да научите как да решавате задачи С3 от Единния държавен изпит по математика като учител по математика, препоръчвам ви да обърнете внимание на следните важни точки.

1. Преди да започнете да решавате системи от логаритмични и експоненциални неравенства, трябва да научите как да решавате всеки от тези видове неравенства поотделно. По-специално, за да разберете как се намира диапазонът от приемливи стойности, еквивалентни трансформации на логаритмични и демонстративни изрази. Можете да разберете някои от тайните, свързани с това, като изучавате статиите "" и "".

2. В същото време е необходимо да се разбере, че решаването на система от неравенства не винаги се свежда до решаване на всяко неравенство поотделно и пресичане на получените интервали. Понякога, знаейки решението на едно неравенство от системата, решението на второто става много по-просто. Като учител по математика, който подготвя учениците да се явят на финални изпити във формата на Единния държавен изпит, в тази статия ще разкрия няколко тайни, свързани с това.

3. Необходимо е ясно да се разбере разликата между пресичането и обединението на множества. Това е едно от най-важните математически знания, които опитен професионален учител се опитва да даде на своя ученик от първите уроци. Визуално представяне на пресичането и обединението на множества се дава от така наречените „Ойлерови кръгове“.

Пресечна точка на множества е множество, което съдържа само тези елементи, които има всяко от тези множества.

кръстовище

Представяне на пресечната точка на множества с помощта на „Ойлерови окръжности“

Обяснение на една ръка разстояние.Диана има „комплект“ в чантата си, състоящ се от ( химикалки, молив, владетели, тетрадки, гребени). Алис има „комплект“ в чантата си, състоящ се от ( бележник , молив, огледала, тетрадки, Пиле Киев). Пресечната точка на тези две „множества“ ще бъде „множеството“, състоящо се от ( молив, тетрадки), тъй като и Даяна, и Алис имат и двата от тези „елементи“.

Важно е да запомните! Ако решението на неравенство е интервал и решението на неравенство е интервал, тогава решението на системите е:

е интервалът, който е кръстовище оригинални интервали. Тук и по-долуозначава някой от знаците title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} и под - това е обратният знак.

Обединение на комплекти е множество, което се състои от всички елементи на оригиналните множества.

С други думи, ако са дадени две групи и след това техните обединение ще бъде набор от следната форма:

Илюстрация на обединението на множества с помощта на „Ойлерови окръжности“

Обяснение на една ръка разстояние.Обединението на „множествата“, взети в предишния пример, ще бъде „множеството“, състоящо се от ( химикалки, молив, владетели, тетрадки, гребени, бележник, огледала, Пиле Киев), тъй като се състои от всички елементи на оригиналните „набори“. Едно уточнение, което може би не е излишно. много не могасъдържат идентични елементи.

Важно е да запомните! Ако решението на неравенство е интервал и решението на неравенство е интервал, тогава решението на съвкупността е:

е интервалът, който е асоциация оригинални интервали.

Да преминем директно към примерите.

Пример 1.Решете системата от неравенства:

Решение на задача C3.

1. Нека първо решим първото неравенство. Използвайки заместването, отиваме до неравенството:

2. Нека решим второто неравенство. Диапазонът на неговите допустими стойности се определя от неравенството:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

В обхвата на приемливите стойности, като се има предвид, че основата на логаритъма title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Като изключим решенията, които не са в обхвата на допустимите стойности, получаваме интервала

3. Отговор на системаще има неравенства кръстовище

Получените интервали на числовата ос. Решението е тяхното пресичане

Пример 2.Решете системата от неравенства:

Решение на задача C3.

1. Нека решим първо първото неравенство. Умножете двете части по title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Нека да преминем към обратното заместване:

2.

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Графично представяне на получения интервал. Решението на системата е тяхното пресичане

Пример 3.Решете системата от неравенства:

Решение на задача C3.

1. Нека решим първо първото неравенство. Умножете двете части по title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Използвайки заместване, стигаме до следното неравенство:

Нека да преминем към обратното заместване:

2. Нека решим второто неравенство. Нека първо определим обхвата на приемливите стойности на това неравенство:

ql-right-eqno">

Моля, имайте предвид, че

След това, като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме:

3. Ние намираме общи решениянеравенства Сравнението на получените ирационални стойности на възловите точки е задача в в този примерв никакъв случай не е тривиално. Можете да направите това по следния начин. защото

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

това и крайният отговор на системата изглежда така:

Пример 4.Решете системата от неравенства:

Решение на задача C3.

1. Нека решим първо второто неравенство:

2. Първо неравенство оригинална системае логаритмично неравенство с променлива основа. Удобен начинрешенията на такива неравенства са описани в статията „Комплексни логаритмични неравенства“ тя се основава на проста формула:

Всеки знак за неравенство може да бъде заменен със знака, основното е, че и в двата случая той е еднакъв. Използването на тази формула значително опростява решаването на неравенството:

Нека сега определим обхвата на приемливите стойности на това неравенство. Задава се по следната система:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Лесно е да се види, че в същото време този интервал ще бъде и решение на нашето неравенство.

3. Окончателният отговор на оригинала системище има неравенства кръстовище получените интервали, т.е

Пример 5.Решете системата от неравенства:

Решение на задача C3.

1. Нека решим първо първото неравенство. Използваме заместване към следното квадратно неравенство:

2. Нека решим второто неравенство. Диапазонът на неговите допустими стойности се определя от системата:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Това неравенство е еквивалентно на следната смесена система:

В обхвата на приемливите стойности, тоест с title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Като вземем предвид диапазона от приемливи стойности, получаваме:

3. Окончателното решение на оригинала системие

Решение на задача C3.

1. Нека решим първо първото неравенство. Чрез еквивалентни трансформации го довеждаме до формата:

2. Нека решим второто неравенство. Диапазонът на неговите валидни стойности се определя от интервала: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Този отговор изцяло принадлежи към диапазона на допустимите стойности на неравенството.

3. Чрез пресичане на интервалите, получени в предходните параграфи, получаваме окончателния отговор на системата от неравенства:

Днес решавахме системи от логаритмични и експоненциални неравенства. Задачи от този вид бяха предложени на изпитание Опции за единен държавен изпитпо математика през настоящата учебна година. Въпреки това, като учител по математика с опит в подготовката за Единния държавен изпит, мога да кажа, че това не означава, че подобни задачи ще бъдат реални опцииЕдинен държавен изпит по математика през юни.

Позволете ми да изкажа едно предупреждение, отправено предимно към преподавателите и учители в училищеучаства в подготовката на гимназисти за полагане на Единния държавен изпитпо математика. Много е опасно да се подготвят ученици за изпит строго по зададени теми, тъй като в този случай съществува риск напълно да го „провалите“ дори с лека промяна в предварително заявения формат на задачите. Математическото образование трябва да е пълно. Уважаеми колеги, моля, не оприличавайте вашите ученици на роботи чрез така нареченото „обучение“ за решаване на определен тип проблеми. В крайна сметка няма нищо по-лошо от формализирането на човешкото мислене.

Успех и творчески успехи на всички!

Сергей Валериевич

Ако опитате, има два варианта: ще работи или няма да работи. Ако не опитате, има само един.
© Народна мъдрост