Т.Д. Иванова

МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ НЕРАВЕНСТВА

CDO и NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Съставител Т. Д. Иванова

Рецензент: Баишева М.И.– Кандидат на педагогическите науки, доцент на катедрата

математически анализ на Факултета по математика

Институт по математика и информатика в Якутск

държавен университет

Методи за решаване на ирационални неравенства: Методическо ръководство

М 34 за ученици от 9-11 клас / комп. Иванова Т.Д. от Сунтар Сунтарски улус

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 с.

Ръководството е предназначено за ученици от средните училища, както и за постъпващите в университетите като методическо ръководство за решаване на ирационални неравенства. Ръководството разглежда подробно основните методи за решаване на ирационални неравенства, дава примери за решаване на ирационални неравенства с параметри, а също така предлага примери за самостоятелно решаване. Учителите могат да използват наръчника като учебен материал за преподаване самостоятелна работа, с обзорен преглед на тема „Ирационални неравенства”.

Ръководството отразява опита на учителя при изучаване на темата „Ирационални неравенства“ с ученици.

Задачите са взети от материалите на приемните изпити, методически вестници и списания, учебници, чийто списък е даден в края на помагалото

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 Т. Д. Иванова, съч., 2006г.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Предговор 5

Въведение 6

Раздел I. Примери за решаване на най-простите ирационални неравенства 7

Раздел II. Неравенства на формата
>g(x), g(x), g(x) 9

Раздел III. Неравенства на формата
;
;

;
13

Раздел IV. Неравенства, съдържащи няколко корена от четна степен 16

Раздел V. Метод на заместване (въвеждане на нова променлива) 20

Раздел VI. Неравенства от вида f(x)
0;

f(x)0;
25

Раздел VII. Неравенства на формата

Раздел VIII. Използване на радикални изразни трансформации

в ирационални неравенства 26

Раздел IX. Графично решение на ирационални неравенства 27

Раздел X. Неравенства от смесен тип 31

Раздел XI. Използване на свойството монотонност на функция 41

Раздел XII. Метод за подмяна на функцията 43

Раздел XIII. Примери за директно решаване на неравенства

интервален метод 45

Раздел XIV. Примери за решаване на ирационални неравенства с параметри 46

Литература 56

Това учебно помагало е предназначено за ученици от 10-11 клас. Както показва практиката, учениците и кандидатите изпитват особени трудности при решаването на ирационални неравенства. Това се дължи на факта, че в училищната математика този раздел не се разглежда достатъчно; различни методи за решаване на такива неравенства не се разглеждат по-подробно. Също така училищните учители усещат липса на методическа литература, което се проявява в ограничено количество проблемен материал, посочващ различни подходи и методи за решаване.

В ръководството се разглеждат методи за решаване на ирационални неравенства. Иванова Т.Д. в началото на всеки раздел запознава учениците с основната идея на метода, след това показва примери с обяснения, а също така предлага проблеми за самостоятелно решение.

Компилаторът използва най-„зрелищните“ методи за решаване на ирационални неравенства, които възникват при постъпване във висше образование образователни институциис повишени изисквания към знанията на учениците.

След като прочетат това ръководство, учениците могат да придобият безценен опит и умения за решаване на сложни ирационални неравенства. Смятам, че този наръчник ще бъде полезен и на учителите по математика, работещи в профилирани паралелки, както и на разработчиците на избираеми дисциплини.

Кандидат на педагогическите науки, доцент в катедрата по математически анализ, Факултет по математика, Институт по математика и информатика, Якутски държавен университет

Баишева М.И.

ПРЕДГОВОР

Ръководството е предназначено за ученици от средните училища, както и за постъпващите в университетите като методическо ръководство за решаване на ирационални неравенства. Ръководството разглежда подробно основните методи за решаване на ирационални неравенства, дава приблизителни примери за решаване на ирационални неравенства, дава примери за решаване на ирационални неравенства с параметри, а също така предлага примери за самостоятелно решаване на някои от тях, кратки отговори и инструкции са дадени.

При самостоятелното анализиране на примери и решаване на неравенства се предполага, че ученикът знае как да решава линейни, квадратни и други неравенства и знае различни методи за решаване на неравенства, по-специално метода на интервалите. Предлага се неравенството да се реши по няколко начина.

Учителите могат да използват помагалото като дидактически материал за самостоятелна работа при преговор на темата „Ирационални неравенства“.

Ръководството отразява опита на учителя при изучаване на темата „Ирационални неравенства“ с ученици.

Задачите са подбрани от материали от приемни изпити във висши учебни заведения, методически вестници и списания по математика „Първи септември“, „Математика в училище“, „Квант“, учебници, чийто списък е даден в края на ръководството. .

ВЪВЕДЕНИЕ

Ирационални неравенства са тези, в които променливи или функция на променлива влизат под знака за корен.

Основният стандартен метод за решаване на ирационални неравенства е последователното повдигане на двете страни на неравенството на степен, за да се отърве от корена. Но тази операция често води до появата на външни корени или дори до загуба на корени, т.е. води до неравенство, което не е равно на първоначалното. Следователно трябва много внимателно да наблюдаваме еквивалентността на трансформациите и да вземем предвид само тези стойности на променливата, за които неравенството има смисъл:

ако коренът е четна степен, тогава радикалният израз трябва да е неотрицателен и стойността на корена също трябва да е неотрицателно число.

ако коренът на степента е нечетно число, тогава радикалният израз може да приеме всяко реално число и знакът на корена съвпада със знака на радикалния израз.

възможно е да повдигнете двете страни на неравенството на четна степен само след като първо се уверите, че те са неотрицателни;

Повдигането на двете страни на неравенство на една и съща нечетна степен винаги е еквивалентно преобразуване.

Главааз. Примери за решаване на прости ирационални неравенства

Примери 1- 6:

Решение:

1. а)
.

б)
.

2. а)

б)

3. а)
.

б)
.

4. а)

б)

5. а)
.

б)

6. а)
.

б)
.

7.

8. а)
.

б)

9. а)
.

б)

11.

12. Намерете най-малкото цяло число положителна стойност x, удовлетворяващ неравенството

13. а) Намерете средата на интервала на решение на неравенството

б) Намерете средната аритметична стойност на всички цели числа на x, за които неравенството има решение 4

14. Намерете най-малкото отрицателно решение на неравенството

15. а)
;

б)

Раздел II. Неравенства от вида >g(x), g(x),g(x)

По същия начин, както при решаване на примери 1-4, разсъждаваме и при решаване на неравенства от посочения тип.

Пример 7 : Решете неравенство
> X + 1

Решение: DZ неравенство: X-3.

За дясната страна има два възможни случая: Xа) X + 1

+ 10 (дясната страна е неотрицателна) или b) XПомислете а) Ако X+10, т.е. X + 3 >- 1, тогава и двете страни на неравенството са неотрицателни.+ 2XПоставяме на квадрат двете страни: X X+ X – 2 + 1. Получавамеквадратно неравенство

х X x - 1, получаваме -1

Помислете б) Ако X+1 х х -3 X
.

Комбиниране на решения за случай a) -1 и b)

-3, нека запишем отговора:
.

Удобно е да напишете всички аргументи при решаването на пример 7, както следва:

Първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от системи от неравенства .

Разсъждение за решаване на неравенства от вида

1.> ж(+ 1. Получаваме); 2. ж(+ 1. Получаваме); 3. ж(+ 1. Получаваме); 4. ж(+ 1. Получаваме) може да се напише накратко под формата на следните диаграми:

аз > ж(+ 1. Получаваме)

2. ж(+ 1. Получаваме)

3. ж(+ 1. Получаваме)

4. ж(+ 1. Получаваме)
.

Пример 8 :
X.

Решение: Първоначалното неравенство е еквивалентно на системата

x>0

Първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от системи от неравенства X
.

Задачи за самостоятелно решаване:

б)

б)
.

б)

б)

20. а)
х

б)

21. а)

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

IN този урокще разгледаме решението на ирационални неравенства, ще дадем различни примери.

Тема: Уравнения и неравенства. Системи уравнения и неравенства

Урок:Ирационални неравенства

При решаването на ирационални неравенства доста често е необходимо да се повдигнат до известна степен и двете страни на неравенството; това е доста отговорна операция. Нека си припомним характеристиките.

И двете страни на неравенството могат да бъдат повдигнати на квадрат, ако и двете са неотрицателни, само тогава получаваме истинско неравенство от истинско неравенство.

И двете страни на неравенството могат да бъдат кубирани във всеки случай; ако първоначалното неравенство е вярно, тогава при кубиране ще получим истинското неравенство.

Разгледайте неравенство от формата:

Коренният израз трябва да е неотрицателен. Функцията може да приема всякакви стойности; трябва да се разгледат два случая.

В първия случай и двете страни на неравенството са неотрицателни, имаме право да го повдигнем на квадрат. Във втория случай дясната страна е отрицателна и нямаме право да я повдигаме на квадрат. В този случай е необходимо да се разгледа значението на неравенството: тук положителният израз (корен квадратен) е по-голям от отрицателния израз, което означава, че неравенството винаги е изпълнено.

И така, имаме следната схема на решение:

В първата система ние не защитаваме отделно радикалния израз, тъй като когато второто неравенство на системата е удовлетворено, радикалният израз трябва автоматично да бъде положителен.

Пример 1 - решаване на неравенство:

Според диаграмата преминаваме към еквивалентен набор от две системи от неравенства:

Нека да илюстрираме:

ориз. 1 - илюстрация на решението на пример 1

Както виждаме, когато се отървем от ирационалността, например при квадратурата, получаваме набор от системи. Понякога това сложен дизайнможе да бъде опростен. В получения набор имаме право да опростим първата система и да получим еквивалентен набор:

Като самостоятелно упражнение е необходимо да се докаже еквивалентността на тези множества.

Разгледайте неравенство от формата:

Подобно на предишното неравенство, разглеждаме два случая:

В първия случай и двете страни на неравенството са неотрицателни, имаме право да го повдигнем на квадрат. Във втория случай дясната страна е отрицателна и нямаме право да я повдигаме на квадрат. В този случай е необходимо да се разгледа значението на неравенството: тук положителният израз (корен квадратен) е по-малък от отрицателния израз, което означава, че неравенството е противоречиво. Няма нужда да разглеждаме втората система.

Имаме еквивалентна система:

Понякога ирационалните неравенства могат да бъдат решени графичен метод. Този методприложимо, когато съответните графики могат да бъдат доста лесно конструирани и техните пресечни точки могат да бъдат намерени.

Пример 2 - решаване на неравенства графично:

За дясната страна има два възможни случая:

б)

Вече решихме първото неравенство и знаем отговора.

За да разрешите неравенства графично, трябва да построите графика на функцията от лявата страна и графика на функцията от дясната страна.

ориз. 2. Графики на функции и

За да се начертае графика на функция, е необходимо да се трансформира параболата в парабола (огледално спрямо оста y) и да се измести получената крива със 7 единици надясно. Графиката потвърждава, че тази функция намалява монотонно в своята област на дефиниране.

Графиката на функция е права линия и се построява лесно. Пресечната точка с оста y е (0;-1).

Първата функция монотонно намалява, втората нараства монотонно. Ако уравнението има корен, то е единственото; лесно се отгатва от графиката: .

Когато стойността на аргумента е по-малка от корена, параболата е над правата линия. Когато стойността на аргумента е между три и седем, правата линия минава над параболата.

Ние имаме отговора:

Ефективен методМетодът на интервалите се използва за решаване на ирационални неравенства.

Пример 3 - решаване на неравенства по интервалния метод:

За дясната страна има два възможни случая:

б)

Според интервалния метод е необходимо временно да се отдалечим от неравенството. За да направите това, преместете всичко в даденото неравенство в лявата страна (получете нула вдясно) и въведете функция, равна на лявата страна:

Сега трябва да проучим получената функция.

ODZ:

Вече решихме това уравнение графично, така че не се спираме на определянето на корена.

Сега е необходимо да изберете интервали с постоянен знак и да определите знака на функцията на всеки интервал:

ориз. 3. Интервали на постоянство на знака, например 3

Нека припомним, че за да определим знаците на интервал, е необходимо да вземем пробна точка и да я заменим във функцията; функцията ще запази получения знак през целия интервал.

Нека проверим стойността в граничната точка:

Отговорът е очевиден:

Нека помислим следващ типнеравенства:

Първо, нека запишем ODZ:

Корените съществуват, те са неотрицателни, можем да повдигнем на квадрат и двете страни. Получаваме:

Имаме еквивалентна система:

Получената система може да бъде опростена. Когато второто и третото неравенство са изпълнени, първото е вярно автоматично. Имаме ::

Пример 4 - решаване на неравенство:

Действаме по схемата - получаваме еквивалентна система.

Всяко неравенство, което включва функция под корена, се нарича ирационален. Има два вида такива неравенства:

В първия случай коренът е по-малък от функцията g(x), във втория е по-голям. Ако g(x) - постоянен, неравенството е много опростено. Моля, обърнете внимание: външно тези неравенства са много сходни, но техните схеми за решаване са коренно различни.

Днес ще научим как да решаваме ирационални неравенства от първия тип - те са най-прости и разбираеми. Знакът за неравенство може да бъде строг или нестрог. За тях е вярно следното твърдение:

Теорема. Всяко ирационално неравенство на формата

Еквивалентно на системата от неравенства:

Не е слаб? Нека да видим откъде идва тази система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тук всичко е ясно. Това е първоначалното неравенство на квадрат;
2. f (x) ≥ 0 е ODZ на корена. Нека ви напомня: аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателничисла;
3. g(x) ≥ 0 е диапазонът на корена. Като повдигаме неравенството на квадрат, изгаряме негативите. В резултат на това могат да се появят допълнителни корени. Неравенството g(x) ≥ 0 ги отрязва.

Много ученици се „закачат“ за първото неравенство на системата: f (x) ≤ g 2 (x) - и напълно забравят другите две. Резултатът е предвидим: грешно решение, загубени точки.

Тъй като ирационалните неравенства са доста сложна тема, нека да разгледаме 4 примера наведнъж. От основни до наистина сложни. Всички задачи се вземат от приемните изпити на Московския държавен университет. М. В. Ломоносов.

Примери за решаване на проблеми

Задача. Решете неравенството:

Пред нас е класика ирационално неравенство: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 е константа. Ние имаме:

От трите неравенства в края на решението останаха само две. Тъй като винаги е в сила неравенството 2 ≥ 0. Нека пресечем останалите неравенства:

И така, x ∈ [−1,5; 0,5]. Всички точки са защриховани, защото неравенствата не са строги.

Задача. Решете неравенството:

Прилагаме теоремата:

Нека решим първото неравенство. За да направим това, ще разкрием квадрата на разликата. Ние имаме:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Сега нека решим второто неравенство. Там също квадратен тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)