Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, ще трябва да разберете какъв тип има.

Обща теория

Призма е всеки многостен, чиито страни имат формата на успоредник. Освен това основата му може да бъде всеки полиедър - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Това, което не важи за страничните лица е, че те могат да варират значително по размер.

При решаването на проблеми се среща не само площта на основата на призмата. Може да изисква познаване на страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Цялата повърхност ще бъде обединението на всички лица, които съставляват призмата.

Понякога проблемите включват височина. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедър е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Трябва да се отбележи, че основната площ на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури на горната и долната страна, тогава техните площи ще бъдат равни.

Триъгълна призма

В основата си има фигура с три върха, тоест триъгълник. Както знаете, може да бъде различно. Ако е така, достатъчно е да запомните, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.

Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.

За да разберете площта на основата в общ изглед, формулите ще бъдат полезни: Чапла и тази, в която половината от страната е отведена до начертаната към нея височина.

Първата формула трябва да бъде записана по следния начин: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Тази нотация съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.

Второ: S = ½ n a * a.

Ако искате да разберете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът се оказва равностранен. Има формула за това: S = ¼ a 2 * √3.

Четириъгълна призма

Неговата основа е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви трябва ваша собствена формула.

Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = ab, където a, b са страните на правоъгълника.

Когато става въпрос за четириъгълна призма, площта на основата правилна призмаизчислено по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S = a 2.

В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S = a * n a. Случва се да са дадени страната на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: n a = b * sin A. Освен това ъгъл A е съседен на страната "b", а височината n е противоположна на този ъгъл.

Ако в основата на призмата има ромб, тогава за определяне на неговата площ ще ви е необходима същата формула като за успоредник (тъй като това е негов частен случай). Но можете да използвате и това: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.

Правилна петоъгълна призма

Този случай включва разделяне на многоъгълника на триъгълници, чиито площи са по-лесни за намиране. Въпреки че се случва фигурите да имат различен брой върхове.

Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.

Правилна шестоъгълна призма

Използвайки принципа, описан за петоъгълна призма, е възможно да разделим шестоъгълника на основата на 6 равностранни триъгълника. Формулата за основната площ на такава призма е подобна на предишната. Само че трябва да се умножи по шест.

Формулата ще изглежда така: S = 3/2 a 2 * √3.

Задачи

№ 1. Като се има предвид правилна права линия, нейният диагонал е 22 cm, височината на многостена е 14 cm. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.

Решение.Основата на призмата е квадрат, но страната му е неизвестна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (h). x 2 = d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 = a 2 + a 2. Така се оказва, че a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Заменете числото 22 вместо d и заменете „n“ с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 cm Сега просто разберете площта на основата: 12 * 12 = 144 cm 2.

За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти основната площ и да учетворите страничната площ. Последното може лесно да се намери с помощта на формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Общата повърхност на призмата се оказва 960 cm 2.

отговор.Площта на основата на призмата е 144 cm 2. Цялата повърхност е 960 cm 2.

No 2. Дадено В основата има триъгълник със страна 6 cm. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 cm.

Решение.Тъй като призмата е правилна, нейната основа е равностранен триъгълник. Следователно неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат, умножена по ¼ и корен квадратен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.

Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да изчислите техните площи, просто умножете тези числа. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова страни. Тогава площта на страничната повърхност на раната се оказва 180 cm 2.

отговор.Области: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.

Многоъгълници ABCDE и FHKMP, лежащи вътре успоредни равнини, се наричат ​​основи на призмата, перпендикулярът OO 1, пуснат от всяка точка на основата към равнината на друга, се нарича височина на призмата. Успоредници ABHF, BCKH и др. се наричат ​​странични стени на призмата, а техните страни SC, DM и т.н., свързващи съответните върхове на основите, се наричат ​​странични ръбове. В призмата всички странични ръбове са равни един на друг като сегменти от успоредни прави линии, затворени между успоредни равнини.
Призма се нарича права линия ( Фиг. 282, б) или косо ( Фиг.282,c) в зависимост от това дали страничните му ребра са перпендикулярни или наклонени спрямо основите. Правата призма има правоъгълни странични стени. Страничният ръб може да се приеме като височина на такава призма.
Правата призма се нарича правилна, ако нейните основи са правилни многоъгълници. В такава призма всички странични лица са равни правоъгълници.
За да изобразите призма в сложен чертеж, трябва да знаете и да можете да изобразите елементите, от които се състои (точка, права линия, плоска фигура).
и тяхното изображение в сложния чертеж (фиг. 283, a - i)

а) Комплексен чертеж на призма. Основата на призмата е разположена на проекционната равнина P 1; една от страничните повърхности на призмата е успоредна на проекционната равнина P 2.
б) Близо до основата на призмата DEF - плоска фигура - правилен триъгълник, разположен в равнината P 1; страната на триъгълника DE е успоредна на оста x 12 - Хоризонталната проекция се слива с дадената основа и следователно е равна на нея естествен размер; Фронталната проекция се слива с оста x 12 и е равна на страната на основата на призмата.
в) Горната основа на призмата ABC е плоска фигура - триъгълник, разположен в хоризонтална равнина. Хоризонталната проекция се слива с проекцията на долната основа и я покрива, тъй като призмата е права; челна проекция - права, успоредна на оста х 12, на разстояние височината на призмата.
г) Страничната страна на призмата ABED е плоска фигура - правоъгълник, разположен във фронталната равнина. Фронтална проекция - правоъгълник, равен на естествения размер на лицето; хоризонталната проекция е права линия, равна на страната на основата на призмата.
д) и е) Страничните стени на призмите ACFD и CBEF са плоски фигури - правоъгълници, лежащи в хоризонтални проекционни равнини, разположени под ъгъл от 60 ° спрямо проекционната равнина P 2. Хоризонталните проекции са прави линии, разположени към оста х 12 под ъгъл 60° и са равни на естествения размер на страните на основата на призмата; фронталните проекции са правоъгълници, чиито изображения са по-малки от реалния размер: двете страни на всеки правоъгълник са равни на височината на призмата.
g) Ръбът AD на призмата е права линия, перпендикулярна на равнината на проекция P 1. Хоризонтална проекция - точка; фронтална - права, перпендикулярна на оста х 12, равна на страничния ръб на призмата (височина на призмата).
з) Страната AB на горната основа е права, успоредна на равнините P 1 и P 2. Хоризонтални и фронтални проекции - прави, успоредни оси x 12 и равна на страната на дадената основа на призмата. Фронталната проекция е отдалечена от оста x 12 на разстояние, равно на височината на призмата.
и) Върховете на призмата. Точка E - върхът на долната основа се намира в равнината P 1. Хоризонталната проекция съвпада със самата точка; фронтална - лежи на оста х 12. Точка С - върхът на горната основа - намира се в пространството. Хоризонталната проекция има дълбочина; фронтално - височина, равен на височинатана тази призма.
От това следва: Когато проектирате всеки полиедър, трябва да го разделите мислено на съставните му елементи и да определите реда на тяхното представяне, състоящ се от последователни графични операции.Фигури 284 и 285 показват примери за последователни графични операции при извършване на сложен чертеж и визуално представяне (аксонометрия) на призми.
(фиг. 284).

дадени:
1. Основата е разположена на проекционната равнина P 1.
2. Нито една страна на основата не е успоредна на оста x 12.
I. Сложна рисунка.
аз, а.
Проектираме долната основа - многоъгълник, който по условие лежи в равнината P1.
аз, б.
Проектираме горната основа - многоъгълник, равен на долната основа със страни, съответно успоредни на долната основа, отдалечен от долната основа с височината H на дадената призма.
I, c.
Проектираме страничните ръбове на призмата - сегменти, разположени успоредно; техните хоризонтални проекции са точки, сливащи се с проекциите на върховете на основите; фронтални - сегменти (успоредни), получени от свързване с прави линии на проекциите на върховете на едноименните основи. Фронталните проекции на ребрата, изтеглени от проекциите на върховете B и C на долната основа, са изобразени с пунктирани линии, сякаш невидими.
аз, ж. Дадени са: хоризонтална проекция F 1 на точка F върху горната основа и фронтална проекция K 2 на точка K върху страничната повърхност. Необходимо е да се определят местата на вторите им проекции.За точка F. Втората (фронтална) проекция F 2 на точка F ще съвпадне с проекцията на горната основа, като точка, лежаща в равнината на тази основа; мястото му се определя от вертикалната съобщителна линия.
За точка K - Втората (хоризонтална) проекция K 1 на точка K ще съвпадне с хоризонталната проекция на страничната повърхност, като точка, лежаща в равнината на лицето; мястото му се определя от вертикалната съобщителна линия.
II. Развитие на повърхността на призмата
На горната основа на призмата, използвайки радиуси R и R 1, определяме местоположението на точка F, а на страничната повърхност, използвайки радиус R 3 и H 1, определяме точка K.
III. Визуално представяне на призма в диметрия.
III, а.
Изобразяваме долната основа на призмата според координатите на точките A, B, C, D и E (фиг. 284 I, a).
III, б.
Изобразяваме горната основа успоредна на долната, на разстояние от нея с височината H на призмата.
III, c.
Изобразяваме страничните ръбове, като свързваме съответните върхове на основите с прави линии. Определяме видимите и невидимите елементи на призмата и ги очертаваме със съответните линии,

дадени:
III, d. Определяне на точки F и K на повърхността на призмата - Точка F - на горната основа се определя с помощта на размери i и e; точка K - на страничната повърхност, използвайки i 1 и H".
За изометрично изображение на призмата и определяне на местоположението на точки F и K трябва да се следва същата последователност.
Фиг.285).
I. Сложна рисунка.
1. Основата е разположена в равнината P 1. 2. Страничните ребра са успоредни на равнината P 2. 3. Нито една страна на основата не е успоредна на оста x 12
аз, а.
Ние проектираме според
това състояние
: долната основа е многоъгълник, лежащ в равнината P1, а страничният ръб е сегмент, успореден на равнината P2 и наклонен към равнината P1.
аз, б.
Проектираме останалите странични ръбове - сегменти, равни и успоредни на първия ръб SE.
Ще завъртим призмата, като я въртим всеки път около страничния ръб, след което всяка странична повърхност на призмата върху равнината ще остави следа (успоредник), равна на нейния естествен размер. Ще конструираме страничното сканиране в следния ред:
а) от точки A 2, B 2, D 2. . . E 2 (фронтални проекции на върховете на основите) изчертаваме спомагателни прави линии, перпендикулярни на проекциите на ребрата;
б) радиус R ( равен на странатабаза CD) правим прорез в точка D на спомагателната линия, изтеглена от точка D2; чрез свързване на прави точки C 2 и D и начертаване на прави линии, успоредни на E 2 C 2 и C 2 D, получаваме страничната повърхност CEFD;
в) тогава, като подредим по подобен начин следните странични стени, получаваме развитие на страничните стени на призмата. За да получим пълно развитие на повърхността на тази призма, ние я прикрепяме към съответните лица на основата.
III. Визуално представяне на призма в изометрия.
III, а.

Изобразяваме долната основа на призмата и ръба CE, използвайки координати според (

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

• Каква лична информация събираме: Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адресимейл

и т.н.

• Как използваме вашата лична информация: Събрани от наслична информация
• ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Определение 1. Призматична повърхност
Теорема 1. Върху успоредни сечения на призматична повърхнина
Определение 2. Перпендикулярно сечение на призматична повърхнина
Определение 3. Призма
Определение 4. Височина на призмата
Определение 5. Права призма
Теорема 2. Странична повърхност на призмата

паралелепипед:
Определение 6. Паралелепипед
Теорема 3. На пресечната точка на диагоналите на паралелепипед
Определение 7. Прав паралелепипед
Определение 8. Правоъгълен паралелепипед
Определение 9. Измервания на паралелепипед
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоедър
Теорема 4. Върху диагоналите на правоъгълен паралелепипед
Теорема 5. Обем на призма
Теорема 6. Обем на права призма
Теорема 7. Обем на правоъгълен паралелепипед

Призмае многостен, чиито две лица (основи) лежат в успоредни равнини, а ръбовете, които не лежат в тези лица, са успоредни един на друг.
Лица, различни от основите, се наричат страничен.
Страните на страничните лица и основите се наричат призмени ребра, краищата на ръбовете се наричат върховете на призмата. Странични ребрасе наричат ​​ръбове, които не принадлежат на основите. Обединението на страничните лица се нарича странична повърхност на призмата, а обединението на всички лица се нарича цялата повърхност на призмата. Височина на призматанаречен перпендикуляр, спуснат от точката на горната основа към равнината на долната основа или дължината на този перпендикуляр. Директна призманаречена призма, чиито странични ребра са перпендикулярни на равнините на основите. Правилнонаречена права призма (фиг. 3), в основата на която лежи правилен многоъгълник.

Обозначения:
l - странично ребро;
P - периметър на основата;
S o - основна площ;
H - височина;
P^ - периметър на перпендикулярно сечение;
S b - странична повърхност;
V - обем;
S p е площта на общата повърхност на призмата.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Определение 1 . Призматична повърхност е фигура, образувана от части от няколко равнини, успоредни на една права линия, ограничена от тези прави линии, по които тези равнини последователно се пресичат една друга *; тези прави са успоредни една на друга и се наричат ръбове на призматичната повърхност.
*Приема се, че всеки две последователни равнини се пресичат и че последната равнина пресича първата

Теорема 1 . Секциите на призматична повърхност от равнини, успоредни една на друга (но не успоредни на нейните ръбове), са равни многоъгълници.
Нека ABCDE и A"B"C"D"E" са сечения на призматична повърхност с две успоредни равнини. За да се уверим, че тези два многоъгълника са равни, достатъчно е да покажем, че триъгълниците ABC и A"B"C" са равни и имат еднаква посока на въртене и че същото важи за триъгълниците ABD и A"B"D", ABE и A"B"E". Но съответните страни на тези триъгълници са успоредни (например AC е успореден на AC) като линията на пресичане на определена равнина с две успоредни равнини; следва, че тези страни са равни (например AC е равно на A"C"), като противоположните страни на успоредник, и че ъглите, образувани от тези страни, са равни и имат една и съща посока.

Определение 2 . Перпендикулярно сечение на призматична повърхност е сечение на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на нейните ръбове. Въз основа на предишната теорема всички перпендикулярни сечения на една и съща призматична повърхност ще бъдат равни многоъгълници.

Определение 3 . Призмата е полиедър, ограничен от призматична повърхност и две равнини, успоредни една на друга (но не успоредни на ръбовете на призматичната повърхност)
Лицата, разположени в тези последни равнини, се наричат призмени основи; лица, принадлежащи на призматичната повърхност - странични лица; ръбове на призматичната повърхност - странични ребра на призмата. По силата на предишната теорема основата на призмата е равни многоъгълници. Всички странични лица на призмата - успоредници; всички странични ребра са равни едно на друго.
Очевидно, ако са дадени основата на призмата ABCDE и един от ръбовете AA" по размер и посока, тогава е възможно да се конструира призма чрез начертаване на ръбове BB", CC", ... равни и успоредни на ръба AA" .

Определение 4 . Височината на призмата е разстоянието между равнините на нейните основи (HH").

Определение 5 . Призма се нарича права, ако нейните основи са перпендикулярни участъци от призматичната повърхност. В този случай височината на призмата, разбира се, е нейната странично ребро; страничните ръбове ще бъдат правоъгълници.
Призмите могат да бъдат класифицирани според броя на страничните лица, равен на броя на страните на многоъгълника, който служи като негова основа. Така призмите могат да бъдат триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и т.н.

Теорема 2 . Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на страничния ръб и периметъра на перпендикулярното сечение.
Нека ABCDEA"B"C"D"E" е дадена призма и abcde нейното перпендикулярно сечение, така че сегментите ab, bc, .. са перпендикулярни на страничните й ръбове. Лицето ABA"B" е успоредник; неговата площ е равно на произведението на основата AA " до височина, която съвпада с ab; площта на лицето ВСВ "С" е равна на произведението на основата ВВ" по височината bc и т.н. Следователно страничната повърхност (т.е. сумата от площите на страничните лица) е равна на продукта на страничния ръб, с други думи, общата дължина на сегментите AA", ВВ", .., за сумата ab+bc+cd+de+ea.

Определение. Призмае многостен, всичките чиито върхове са разположени в две успоредни равнини и в същите тези две равнини лежат две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, и всички ръбове, които не лежат в тези равнини, са успоредни.

Две равни лица се наричат призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхностпризми .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат ​​странични ръбове на призмата ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата е сегмент, чиито краища са два върха на призма, които не лежат на едно и също лице (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначение:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на преминаване, са посочени върховете на една основа, а след това, в същия ред, върховете на друга; краищата на всеки страничен ръб са обозначени със същите букви, обозначени са само върховете, лежащи в една основа с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 има петоъгълник в основата, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но защото такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица - основите на призмата, 5 лица - успоредници, - нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява личен изглед: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

Правилната призма има всички странични лица равни правоъгълници. Специален случай на призма е паралелепипед.

паралелепипед

паралелепипед- Това четириъгълна призма, в чиято основа лежи успоредник (наклонен паралелепипед). Прав паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основата.

Правоъгълен паралелепипед- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

Някои свойства на паралелепипеда са подобни на известните свойства на паралелограма Правоъгълен паралелепипед с равни размери се нарича куб .Кубът има всички равни квадрати. Диагонален квадрат, равно на суматаквадрати на неговите три измерения

,

където d е диагоналът на квадрата;
a е страната на квадрата.

Идеята за призма се дава от:

• различни архитектурни структури;
• детски играчки;
• опаковъчни кутии;
• дизайнерски артикули и др.

Площта на общата и страничната повърхност на призмата

Обща повърхност на призматае сумата от площите на всички негови лица Площ на страничната повърхностсе нарича сумата от площите на неговите странични стени. Основите на призмата са равни многоъгълници, тогава техните площи са равни. Ето защо

S пълен = S страничен + 2S основен,

Къде S пълен- обща площ, S страна- странична повърхност, S база- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна= P основен * h,

Къде S страна- площ на страничната повърхност на права призма,

P main - периметър на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.