Площта на конуса (или просто повърхността на конуса) е равна на сумата от площите на основата и страничната повърхност.
Площта на страничната повърхност на конуса се изчислява по формулата: S = πR л, където R е радиусът на основата на конуса, и л- образуване на конус.
Тъй като площта на основата на конуса е равна на πR 2 (като площта на кръг), площта на общата повърхност на конуса ще бъде равна на: πR 2 + πR л= πR(R+ л).
Получаването на формулата за площта на страничната повърхност на конус може да се обясни със следното разсъждение. Нека чертежът показва развитието на страничната повърхност на конус. Нека разделим дъгата AB на колкото се може повече равни частии свържете всички точки на разделяне към центъра на дъгата, а съседните помежду си с хорди.
Получаваме поредица от равни триъгълници. Площта на всеки триъгълник е ах / 2 където А- дължина на основата на триъгълника, a ч- неговото високо.
Сумата от площите на всички триъгълници ще бъде: ах / 2 н = анх / 2 където н- брой триъгълници.
При голямо числоделения, сумата от площите на триъгълниците става много близка до зоната на развитие, т.е. площта на страничната повърхност на конуса. Сборът от основите на триъгълниците, т.е. ан, става много близо до дължината на дъгата AB, т.е. до обиколката на основата на конуса. Височината на всеки триъгълник става много близка до радиуса на дъгата, т.е. до образуващата на конуса.
Пренебрегвайки незначителни разлики в размерите на тези количества, получаваме формулата за площта на страничната повърхност на конуса (S):
S=C л / 2, където C е обиколката на основата на конуса, л- образуване на конус.
Знаейки, че C = 2πR, където R е радиусът на окръжността на основата на конуса, получаваме: S = πR л.
Забележка.Във формулата S = C л / 2 има знак за точно, а не приблизително равенство, въпреки че въз основа на горните разсъждения бихме могли да считаме това равенство за приблизително. Но в гимназията гимназиядоказано е, че равенството
S=C л / 2 е точно, а не приблизително.
Теорема. Страничната повърхност на конуса е равна на произведението на обиколката на основата и половината от образуващата.
Нека напишем в конуса (фиг.) някои правилна пирамидаи означете с букви РИ лчисла, изразяващи дължините на периметъра на основата и апотемата на тази пирамида.
Тогава неговата странична повърхност ще бъде изразена чрез произведението 1/2 Р л .
Нека сега приемем, че броят на страните на многоъгълника, вписан в основата, нараства неограничено. След това периметърът Рще се стреми към границата, взета като дължина C на основната обиколка и апотема лще има като граница образуващата на конуса (тъй като ΔSAK следва, че SA - SK
1 / 2 Р л, ще клони към границата от 1/2 C
L. Тази граница се приема като размер на страничната повърхност на конуса. Като определи странична повърхностконус с буквата S, можем да напишем:
S = 1/2 C L = C 1/2 л
Последствия.
1) Тъй като C = 2 π
R, тогава страничната повърхност на конуса се изразява по формулата:
S = 1/2 2π Р L= π Р.Л.
2) Получаваме пълната повърхност на конуса, ако добавим страничната повърхност към площта на основата; следователно, означавайки пълната повърхност с T, ще имаме:
Т= π RL+ π R2= π R(L+R)
Теорема. Страничната повърхност на пресечен конус е равна на произведението на половината от сумата от дължините на окръжностите на основите и генератора.
Нека напишем в пресечения конус (фиг.) някаква правилна пресечена пирамидаи означете с букви r, r 1 и лчисла, изразяващи в еднакви линейни единици дължините на периметрите на долната и горната основа и апотема на тази пирамида.
Тогава страничната повърхност на вписаната пирамида е равна на 1/2 ( p + p 1) л
С неограничено увеличаване на броя на страничните лица на вписаната пирамида, периметрите РИ Р 1 се стремят към границите, взети като дължини C и C 1 на основните кръгове и апотемата лима като граница образуващата L на пресечен конус. Следователно размерът на страничната повърхност на вписаната пирамида клони към граница, равна на (C + C 1) L. Тази граница се приема като размер на страничната повърхност на пресечения конус. Означавайки страничната повърхност на пресечения конус с буквата S, имаме:
S = 1/2 (C + C 1) L
Последствия.
1) Ако R и R 1 означават радиусите на кръговете на долната и горната основа, тогава страничната повърхност на пресечения конус ще бъде:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Ако в трапеца OO 1 A 1 A (фиг.), от въртенето на който се получава пресечен конус, начертаваме средна линияпр.н.е., тогава получаваме:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
следователно
S=2 π BC L,
т.е. страничната повърхност на пресечен конус е равна на произведението на обиколката на средната секция и генератрисата.
3) Общата повърхност T на пресечен конус ще бъде изразена, както следва:
Т= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Телата на въртене, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.
Ако в задача на Единния държавен изпит по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера, считайте се за късметлия.
Приложете формули за обем и повърхност на цилиндър, конус и сфера. Всички те са в нашата маса. Научавам наизуст. Тук започват знанията за стереометрията.
Понякога е добре да нарисувате гледката отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.
2. Колко пъти е обемът на конус, описан около правилния четириъгълна пирамида, е по-голям от обема на конуса, вписан в тази пирамида?
Просто е - нарисувайте изгледа отдолу. Виждаме, че радиусът на по-голямата окръжност е пъти по-голям от радиуса на по-малката. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.
Друг важен момент. Спомнете си, че в задачите от част Б Опции за единен държавен изпитв математиката отговорът се записва като цяло число или крайно число десетичен знак. Следователно във вашия отговор в част Б не трябва да има или. Няма нужда да замествате и приблизителната стойност на числото! Определено трябва да се свие! Именно за тази цел в някои задачи задачата се формулира, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на.“
Къде другаде се използват формулите за обем и повърхност на телата на революция? Разбира се, в задача C2 (16). Ние също ще ви разкажем за това.
Ето проблеми с конусите, състоянието е свързано с повърхността му. По-специално, в някои задачи има въпрос за промяна на площта при увеличаване (намаляване) на височината на конуса или радиуса на основата му. Теория за решаване на задачи в . Нека разгледаме следните задачи:
27135. Обиколката на основата на конуса е 3, генераторът е 2. Намерете площта на страничната повърхност на конуса.
Площта на страничната повърхност на конуса е равна на:
Заместване на данните:
75697. Колко пъти ще се увеличи площта на страничната повърхност на конуса, ако неговият генератор се увеличи 36 пъти, а радиусът на основата остане същият?
Площ на страничната повърхност на конуса:
Образуващата се увеличава 36 пъти. Радиусът остава същият, което означава, че обиколката на основата не се е променила.
Това означава, че страничната повърхност на модифицирания конус ще има формата:
Така тя ще се увеличи с 36 пъти.
*Връзката е ясна, така че този проблем може лесно да бъде разрешен устно.
27137. Колко пъти ще намалее площта на страничната повърхност на конуса, ако радиусът на основата му се намали 1,5 пъти?
Площта на страничната повърхност на конуса е равна на:
Радиусът намалява 1,5 пъти, т.е.
Установено е, че страничната повърхност намалява 1,5 пъти.
27159. Височината на конуса е 6, генераторът е 10. Намерете площта на общата му повърхност, разделена на Pi.
Пълна повърхност на конуса:
Трябва да намерите радиуса:
Височината и генератрисата са известни, като използваме питагоровата теорема, изчисляваме радиуса:
По този начин:
Разделете резултата на Пи и запишете отговора.
76299. Общата повърхност на конуса е 108. Начертава се сечение, успоредно на основата на конуса, разделящо височината наполовина. Намерете общата повърхност на отрязания конус.
Разрезът минава през средата на височината успоредно на основата. Това означава, че радиусът на основата и образуващата на отрязания конус ще бъде 2 пъти по-малък от радиуса и образуващата на оригиналния конус. Нека запишем повърхността на отрязания конус:
Разбрах, че е 4 пъти по-малко площповърхност на оригинала, тоест 108:4 = 27.
*Тъй като оригиналният и изрязаният конус са подобни тела, тогава може да се използва и свойството за подобие:
27167. Радиусът на основата на конуса е 3, а височината е 4. Намерете общата повърхност на конуса, разделена на Pi.
Формула за общата повърхност на конус:
Радиусът е известен, необходимо е да се намери генератора. 
Според теоремата на Питагор:
По този начин:
Разделете резултата на Пи и запишете отговора.
Задача. Площта на страничната повърхност на конуса е четири пъти по-голяма от площта на основата. Намерете колко е косинусът на ъгъла между образуващата на конуса и равнината на основата.
Площта на основата на конуса е: 
Тоест косинусът ще бъде равен на:
Отговор: 0,25
Решете сами:
27136. Колко пъти ще се увеличи площта на страничната повърхност на конуса, ако неговата генератора се увеличи 3 пъти?
27160. Площта на страничната повърхност на конуса е два пъти по-голяма от площта на основата. Намерете ъгъла между образуващата на конуса и равнината на основата. Дайте отговора си в градуси. .
27161. Общата повърхност на конуса е 12. Начертава се сечение, успоредно на основата на конуса, разделящо височината наполовина. Намерете общата повърхност на отрязания конус.
Това е всичко. Късмет!
С уважение, Александър.
*Споделяйте информация за сайта с приятелите си чрез социалните мрежи.
Знаем какво е конус, нека се опитаме да намерим повърхността му. Защо трябва да решавате такъв проблем? Например, трябва да разберете колко тесто ще отиде за направата на вафлена фунийка? Или колко тухли са необходими, за да се направи тухлен покрив на замък?
Измерването на страничната повърхност на конус просто не може да се направи. Но нека си представим същия рог, увит в плат. За да намерите площта на парче плат, трябва да го изрежете и да го поставите на масата. Резултатът е плоска фигура, можем да намерим нейната площ.
Ориз. 1. Сечение на конус по образуващата
Нека направим същото с конуса. Нека „разрежем“ страничната му повърхност по произволна образуваща, например (виж фиг. 1).
Сега нека „размотаем“ страничната повърхност върху равнина. Получаваме сектор. Центърът на този сектор е върхът на конуса, радиусът на сектора е равен на образуващата на конуса, а дължината на дъгата му съвпада с обиколката на основата на конуса. Този сектор се нарича развитие на страничната повърхност на конуса (виж фиг. 2).
Ориз. 2. Развитие на страничната повърхност
Ориз. 3. Измерване на ъгъл в радиани
Нека се опитаме да намерим площта на сектора, като използваме наличните данни. Първо, нека въведем обозначението: нека ъгълът при върха на сектора е в радиани (вижте фиг. 3).
Често ще трябва да се справяме с ъгъла в горната част на размаха при проблеми. Засега нека се опитаме да отговорим на въпроса: не може ли този ъгъл да се окаже повече от 360 градуса? Тоест, няма ли да се окаже, че почистването ще се припокрие? Разбира се, че не. Нека докажем това математически. Оставете сканирането да се „наслагва“ върху себе си. Това означава, че дължината на дъгата на движение е по-голяма от дължината на окръжността с радиус. Но, както вече беше споменато, дължината на дъгата на движение е дължината на окръжността с радиус. И радиусът на основата на конуса, разбира се, е по-малък от образуващата, например, защото катетът на правоъгълен триъгълник е по-малък от хипотенузата
Тогава нека си спомним две формули от курса по планиметрия: дължина на дъгата. Област на сектора: .
В нашия случай ролята се играе от генератора , а дължината на дъгата е равна на обиколката на основата на конуса, т.е. Ние имаме:
Накрая получаваме: .
Заедно със страничната повърхност може да се намери и общата повърхност. За да направите това, площта на основата трябва да се добави към площта на страничната повърхност. Но основата е кръг с радиус, чиято площ според формулата е равна на .
Накрая имаме: , където е радиусът на основата на цилиндъра, е образуващата.
Нека решим няколко задачи с помощта на дадените формули.
Ориз. 4. Необходим ъгъл
Пример 1. Развитието на страничната повърхност на конуса е сектор с ъгъл при върха. Намерете този ъгъл, ако височината на конуса е 4 cm, а радиусът на основата е 3 cm (виж фиг. 4).
Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник, образувайки конус
Чрез първото действие, според Питагоровата теорема, намираме генератора: 5 cm (виж фиг. 5). След това знаем това .
Пример 2. Площта на аксиалното напречно сечение на конуса е равна на , височината е равна на . Намерете общата повърхност (вижте фиг. 6).
