Помислете за дефиниране на права в равнина, в която променливите x, y са функции на трета променлива t (наречена параметър):

За всяка стойност tопределени стойности съответстват на определени стойности от определен интервал хИ y, a, следователно определена точка M (x, y) от равнината. Кога tминава през всички стойности от даден интервал, след това точката М (x, y) описва някакъв ред Л. Уравнения (2.2) се наричат ​​уравнения на параметрични линии Л.

Ако функцията x = φ(t) има обратна t = Ф(x), тогава замествайки този израз в уравнението y = g(t), получаваме y = g(Ф(x)), което определя гкато функция на х. В този случай казваме, че уравнения (2.2) дефинират функцията гпараметрично.

Пример 1.Нека M(x,y)– произволна точка върху окръжност с радиус Ри центриран в началото. Нека t– ъгъл между осите воли радиус ОМ(виж Фиг. 2.3). Тогава x, yсе изразяват чрез t:

Уравнения (2.3) са параметрични уравнения на окръжност. Нека изключим параметъра t от уравненията (2.3). За да направим това, повдигаме на квадрат всяко уравнение и го добавяме, получаваме: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) или x 2 + y 2 = R 2 – уравнението на окръжност в декартовата система координатна система. Той дефинира две функции: Всяка от тези функции е дадена от параметрични уравнения (2.3), но за първата функция , а за втората .

Пример 2. Параметрични уравнения

дефинирайте елипса с полуоси а, б(фиг. 2.4). Изключване на параметъра от уравненията t, получаваме каноничното уравнение на елипсата:

Пример 3. Циклоида е линия, описана от точка, разположена върху окръжност, ако тази окръжност се търкаля без плъзгане по права линия (фиг. 2.5). Нека въведем параметричните уравнения на циклоидата. Нека радиусът на кръга на търкаляне е а, точка М, описващ циклоидата, в началото на движението съвпада с началото на координатите.

Да определим координатите х, y точки Мслед като кръгът се е завъртял под ъгъл t
(фиг. 2.5), t = ÐMCB. Дължина на дъгата М.Б.равна на дължината на отсечката O.B.тъй като кръгът се търкаля без приплъзване, следователно

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – цена).

Така се получават параметричните уравнения на циклоидата:

При промяна на параметър tот 0 до 2πкръгът се завърта с един оборот, а точката Мописва една дъга от циклоида. Уравнения (2.5) дават гкато функция на х. Въпреки че функцията x = a(t – sint)има обратна функция, но не се изразява чрез елементарни функции, така че функцията y = f(x)не се изразява чрез елементарни функции.

Нека разгледаме диференцирането на функция, дефинирана параметрично с уравнения (2.2). Функцията x = φ(t) на определен интервал на изменение t има обратна функция t = Ф(x), Тогава y = g(Ф(x)). Нека x = φ(t), y = g(t)имат производни и x"t≠0. Според правилото за диференциация сложна функция y"x=y"t×t"x.Въз основа на правилото за диференциране на обратната функция, следователно:

Получената формула (2.6) позволява да се намери производната за функция, зададена параметрично.

Пример 4. Нека функцията г, в зависимост от х, се задава параметрично:

Решение. .
Пример 5.Намерете наклона кдопирателна към циклоидата в точка M 0, съответстваща на стойността на параметъра.
Решение.От циклоидните уравнения: y" t = asint, x" t = a(1 – цена),Ето защо

Наклон на допирателната в точка M0равна на стойността при t 0 = π/4:

ДИФЕРЕНЦИАЛНА ФУНКЦИЯ

Нека функцията в точката х 0има производна. По дефиниция:
следователно, според свойствата на границата (раздел 1.8), където а– безкрайно малък при Δx → 0. Оттук

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Тъй като Δx → 0, вторият член в равенство (2.7) е безкрайно малък от по-висок порядък в сравнение с , следователно Δy и f " (x 0)×Δx са еквивалентни, безкрайно малки (за f "(x 0) ≠ 0).

По този начин нарастването на функцията Δy се състои от два члена, от които първият f "(x 0)×Δx е основна част нарастване Δy, линейно по отношение на Δx (за f "(x 0)≠ 0).

Диференциалфункция f(x) в точка x 0 се извиква основна частнарастване на функцията и се означава с: dyили df(x0). следователно

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1.Намерете диференциала на функция dyи увеличението на функцията Δy за функцията y = x 2 при:
1) произволно хи Δ х; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ако x 0 = 20, Δx = 0,1, тогава Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Нека запишем равенството (2.7) във вида:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Увеличението Δy е различно от диференциала dyдо безкрайно малко от по-висок порядък, в сравнение с Δx, следователно при приблизителни изчисления се използва приблизителното равенство Δy ≈ dy, ако Δx е достатъчно малко.

Като се има предвид, че Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), получаваме приблизителна формула:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Пример 2. Изчислете приблизително.

Решение.Помислете за:

Използвайки формула (2.10), получаваме:

И така, ≈ 2,025.

Нека разгледаме геометричния смисъл на диференциала df(x 0)(фиг. 2.6).

Нека начертаем допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точката M 0 (x0, f(x 0)), нека φ е ъгълът между допирателната KM0 и оста Ox, тогава f"( x 0) = tanφ От ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Но PN е нарастването на допирателната ордината, когато x се променя от x 0 на x 0 + Δx.

Следователно диференциалът на функцията f(x) в точката x 0 е равен на увеличението на ординатата на допирателната.

Нека намерим диференциала на функцията
y = x. Тъй като (x)" = 1, тогава dx = 1×Δx = Δx. Ще приемем, че диференциалът на независимата променлива x е равен на нейното нарастване, т.е. dx = Δx.

Ако x е произволно число, то от равенството (2.8) получаваме df(x) = f "(x)dx, откъдето .
По този начин производната за функция y = f(x) е равна на отношението на нейния диференциал към диференциала на аргумента.

Нека разгледаме свойствата на диференциала на функция.

Ако u(x), v(x) са диференцируеми функции, тогава са валидни следните формули:

За доказване на тези формули се използват производни формули за сбор, произведение и частно на функция. Нека докажем например формула (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Нека разгледаме диференциала на сложна функция: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогава dy = y" t dt, но y" t = y" x ×x" t, така че dy = y" x x" t dt. като се има предвид,

че x" t = dx, получаваме dy = y" x dx =f "(x)dx.

Така диференциалът на сложна функция y = f(x), където x =φ(t), има формата dy = f "(x)dx, същата като в случая, когато x е независима променлива. Това свойство се нарича инвариантност на формата на диференциала А.

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете обща формулапараметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметър и може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. включено координатна равнинаможете да маркирате точка и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично зададена функция, изтеглете моята геометрична програма на страницата Математически формулии маси.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на "x по отношение на променливата te":

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готови. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В този случай:

Така:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производни разгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В този случай:

Замества намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Забелязах, че в задачата за намиране на производната на параметрична функция доста често с цел опростяване е необходимо да се използва тригонометрични формули . Запомнете ги или ги дръжте под ръка и не пропускайте възможността да опростите всеки междинен резултат и отговор. за какво? Сега трябва да вземем производната на и това очевидно е по-добре от намирането на производната на .

Нека намерим втората производна.
Използваме формулата: .

Нека да разгледаме нашата формула. Знаменателят вече е намерен в предишната стъпка. Остава да намерим числителя - производната на първата производна по отношение на променливата "te":

Остава да използваме формулата:

За затвърждаване на материала предлагам още няколко примера, които да решите сами.

Пример 9

Пример 10

Намерете и за функция, зададена параметрично

желая ти успех!

Надявам се, че този урок беше полезен и вече можете лесно да намирате производни на функции, зададени имплицитно и от параметрични функции

Решения и отговори:

Пример 3: Решение:






Така:

Досега разглеждахме уравнения на прави в равнина, които директно свързват текущите координати на точките от тези прави. Въпреки това, често се използва друг метод за дефиниране на линия, при който текущите координати се разглеждат като функции на трета променлива.

Нека са дадени две функции на променлива

разглеждани за същите стойности на t. Тогава всяка от тези стойности на t съответства на определена стойност и определена стойност на y и следователно на определена точка. Когато променливата t преминава през всички стойности от областта на дефиниране на функциите (73), точката описва определена линия C в равнината, уравненията (73) се наричат ​​параметрични уравнения на тази линия, а променливата се извиква параметър.

Нека приемем, че функцията има обратна функция. Замествайки тази функция във второто от уравненията (73), получаваме уравнението

изразяване на y като функция

Нека се съгласим да кажем, че тази функция е дадена параметрично чрез уравнения (73). Преходът от тези уравнения към уравнение (74) се нарича елиминиране на параметър. Когато разглеждаме функции, дефинирани параметрично, изключването на параметъра не само не е необходимо, но и не винаги е практически възможно.

В много случаи е много по-удобно да попитате различни значенияпараметър, след това изчислете съответните стойности на аргумента и функцията y, като използвате формули (73).

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1. Нека е произволна точка върху окръжност с център в началото и радиус R. Декартовите координати x и y на тази точка се изразяват чрез полярен радиус и полярен ъгъл, които тук означаваме с t, както следва ( виж глава I, § 3, параграф 3):

Уравнения (75) се наричат ​​параметрични уравнения на окръжност. Параметърът в тях е полярният ъгъл, който варира от 0 до .

Ако уравненията (75) се повдигнат на квадрат член по член и се добавят, тогава по силата на тъждеството параметърът се елиминира и се получава уравнението на окръжност в декартовата координатна система, което дефинира две елементарни функции:

Всяка от тези функции е зададена параметрично чрез уравнения (75), но диапазоните на параметрите за тези функции са различни. За първия от тях; Графиката на тази функция е горният полукръг. За втората функция нейната графика е долният полукръг.

Пример 2. Разгледайте едновременно елипса

и окръжност с център в началото и радиус a (фиг. 138).

Към всяка точка M от елипсата свързваме точка N от окръжността, която има същата абциса като точката M и се намира с нея от същата страна на оста Ox. Позицията на точка N, а следователно и точка M, се определя изцяло от полярния ъгъл t на точката. В този случай за тяхната обща абциса получаваме следния израз: x = a. Намираме ординатата в точка М от уравнението на елипсата:

Знакът е избран, защото ординатата на точка M и ординатата на точка N трябва да имат еднакви знаци.

Така се получават следните параметрични уравнения за елипсата:

Тук параметърът t варира от 0 до .

Пример 3. Да разгледаме окръжност с център в точка а) и радиус а, която очевидно докосва оста х в началото (фиг. 139). Да приемем, че тази окръжност се търкаля без приплъзване по оста x. Тогава точката M от окръжността, която в началния момент съвпада с началото на координатите, описва права, наречена циклоида.

Нека изведем параметричните уравнения на циклоидата, като вземем за параметър t ъгъла MSV на завъртане на окръжността при преместване на нейната фиксирана точка от позиция O в позиция M. Тогава за координатите и y на точка M получаваме следните изрази:

Поради факта, че кръгът се търкаля по оста без приплъзване, дължината на сегмента OB е равна на дължината на дъгата BM. Тъй като дължината на дъгата BM е равна на произведението на радиуса a и централния ъгъл t, тогава . Ето защо. Но следователно,

Тези уравнения са параметричните уравнения на циклоидата. Когато параметърът t се промени от 0 до кръгът ще направи един пълен оборот. Точка М ще описва една дъга от циклоидата.

Изключването на параметъра t тук води до тромави изрази и е практически непрактично.

Параметричната дефиниция на линиите се използва особено често в механиката, а ролята на параметъра се играе от времето.

Пример 4. Да определим траекторията на снаряд, изстрелян от оръдие с начална скорост под ъгъл а спрямо хоризонталата. Пренебрегваме съпротивлението на въздуха и размерите на снаряда, считайки го за материална точка.

Нека изберем координатна система. Нека приемем точката на излитане на снаряда от дулото за начало на координатите. Нека насочим оста Ox хоризонтално, а оста Oy вертикално, като ги поставим в една равнина с цевта на пистолета. Ако нямаше сила на гравитация, тогава снарядът щеше да се движи по права линия, сключвайки ъгъл a с оста Ox, и за времето t щеше да е изминал разстоянието. Координатите на снаряда в момент t биха били съответно равни на: . Поради гравитацията снарядът трябва да се спусне вертикално с известно количество. Следователно в действителност в момента t координатите на снаряда се определят по формулите:

Тези уравнения съдържат постоянни величини. Когато t се промени, координатите в точката на траекторията на снаряда също ще се променят. Уравненията са параметрични уравнения на траекторията на снаряда, в които параметърът е времето

Изразяване от първото уравнение и заместването му в

второто уравнение, получаваме уравнението на траекторията на снаряда във формата Това е уравнението на парабола.