Сред цялото многообразие логаритмични неравенстваОтделно се изучават неравенства с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

По този начин се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите диапазона от приемливи стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте „Какво е логаритъм“.

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде записано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства представляват система и трябва да бъдат изпълнени едновременно. Когато диапазонът от приемливи стойности е намерен, остава само да го пресечете с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, но последното ще трябва да се изпише. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Правим преход от логаритмично неравенство към рационално. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулите на този израз са: x = 3; x = −3; x = 0. Освен това x = 0 е корен от втора кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство е различно от горното. Това е лесно да се коригира чрез стандартни правиларабота с логаритми - вижте “Основни свойства на логаритмите”. а именно:

1. Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
2. Сумата и разликата на логаритми с еднакви основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно бих искал да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, трябва да се намери VA на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

1. Намерете VA на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Редуцирайте неравенството до стандартно, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
3. Решете полученото неравенство, като използвате схемата, дадена по-горе.

Задача. Решете неравенството:

Нека намерим дефиниционната област (DO) на първия логаритъм:

Решаваме с помощта на интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм ще има същия VA. Ако не вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Имаме два логаритма с една и съща основа. Нека ги съберем:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите с помощта на формулата. Тъй като първоначалното неравенство съдържа знак „по-малко от“, полученият рационален израз също трябва да бъде такъв по-малко от нула. Ние имаме:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Отговорът на кандидата: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервали, които са защриховани и на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Мислите ли, че има още време до Единния държавен изпит и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано студентът започне подготовка, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителен кредит.

Знаете ли вече какво е логаритъм? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Разбирането какво е логаритъм е много просто.

Защо 4? Трябва да увеличите числото 3 до тази степен, за да получите 81. След като разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.

Преминахте през неравенствата преди няколко години. И оттогава непрекъснато ги срещате в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, след като се запознахме с понятията поотделно, нека да преминем към тяхното разглеждане като цяло.

Най-простото логаритмично неравенство.

Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример; има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенства с логаритми. Сега нека дадем по-приложим пример, все още доста прост;

Как да се реши това? Всичко започва с ODZ. Струва си да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.

Какво е ODZ? ОДЗ за логаритмични неравенства

Съкращението означава обхвата на допустимите стойности. Тази формулировка често се среща в задачите за Единния държавен изпит. ODZ ще ви бъде полезен не само в случай на логаритмични неравенства.

Погледнете отново горния пример. Ще разгледаме ODZ въз основа на него, за да разберете принципа и решаването на логаритмични неравенства не повдига въпроси. От дефиницията на логаритъм следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.

Това число по дефиниция трябва да е положително. Решете представеното по-горе неравенство. Това може да се направи дори устно; тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.

Изхвърляме самите логаритми от двете страни на неравенството. Какво ни остава в резултат? Просто неравенство.

Не е трудно да се реши. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в система. по този начин

Това ще бъде обхватът на приемливите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.

Защо изобщо се нуждаем от ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да се помни дълго време, тъй като в Единния държавен изпит често има нужда да се търси ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.

Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство

Решението се състои от няколко етапа. Първо, трябва да намерите диапазона от приемливи стойности. Ще има две значения в ODZ, обсъдихме това по-горе. След това трябва да решим самото неравенство. Методите за решение са както следва:

• метод за заместване на множителя;
• разлагане;
• метод на рационализация.

В зависимост от ситуацията си струва да използвате един от горните методи. Да преминем директно към решението. Нека разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на задачи от Единния държавен изпит в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено сложно неравенство. И така, алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство.

Примери за решения :

Не напразно взехме точно това неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от допустими стойности; в противен случай трябва да промените знака за неравенство.

В резултат на това получаваме неравенството:

Сега намаляваме лявата страна до формата на уравнението, равно на нула. Вместо знака “по-малко” поставяме “равно” и решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че с решение на това просто уравнениеняма да имаш проблеми. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на графиката, като поставите „+“ и „-“. Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме „+“ там.

отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.

Намерихме диапазона от приемливи стойности само за лявата страна; сега трябва да намерим диапазона от приемливи стойности за дясната страна. Това е много по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.

И едва сега започваме да се занимаваме със самото неравенство.

Нека го опростим, доколкото е възможно, за да е по-лесно за решаване.

Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, всичко вече е ясно от предишния пример. отговор.

Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.

Решение логаритмични уравненияи неравенства с по различни причинипредполага първоначално намаление до една база. След това използвайте метода, описан по-горе. Но има още труден случай. Нека разгледаме един от най сложни видовелогаритмични неравенства.

Логаритмични неравенства с променлива основа

Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива хора могат да бъдат намерени в Единния държавен изпит. Решаването на неравенства по следния начин също ще ви бъде от полза образователен процес. Нека разберем проблема в детайли. Да изоставим теорията и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно да се запознаете с примера веднъж.

За да се реши логаритмично неравенство на представената форма, е необходимо да се намали дясната страна до логаритъм със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.

Всъщност всичко, което остава, е да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и проследите промените им. Системата ще има следните неравенства.

Когато използвате метода на рационализация при решаване на неравенства, трябва да запомните следното: едно трябва да се извади от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете страни на неравенството (дясно от ляво), два израза се умножават и поставен под оригиналния знак по отношение на нула.

По-нататъшното решение се извършва с помощта на интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.

В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са доста лесни за решаване. Как можете да разрешите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в нелеката задача!

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан „Искател“

MBOU "Sovetskaya Средно училище № 1", 11 клас, гр. Советски Советски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител в Общинска бюджетна образователна институция „Съветско средно училище № 1“

Съветски район

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение…………………………………………………………………………………….4

Глава 1. История на проблема……………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация………………………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………….................................. ............ 22

2.4. Задачи с капани………………………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където основният предмет е математика. Ето защо работя много със задачи в част C. В задача C3 трябва да реша нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Когато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с недостига на методи и техники за решаване на изпитни логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се изучават в училищна програмапо тази тема, не дават база за решаване на задачи С3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно по задачи C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещаме ли логаритми в живота си?

С оглед на това беше избрана темата:

„Логаритмични неравенства в Единния държавен изпит“

Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на задачи С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информациявърху нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение се състои в разширяването на апарата за решаване на задачи от С3. Този материалможе да се използва в някои уроци, за кръжоци и избираеми часове по математика.

Продуктът на проекта ще бъде колекцията „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions.“

Глава 1. Предистория

През 16-ти век броят на приблизителните изчисления се увеличава бързо, главно в астрономията. Подобряването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше застрашена реална опасностда се удавя в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха в други области, например в застрахователния бизнес, бяха необходими таблици със сложни лихви различни значенияпроцента. Основната трудност беше умножението, деленето многоцифрени числа, особено тригонометрични величини.

Откриването на логаритмите се основава на свойствата на прогресиите, които са били добре известни до края на 16 век. За връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресияпоказателите им са 1, 2, 3,... Архимед говори в своя “Псалмит”. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори са посочили, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен в геометричната прогресия съответстват в аритметиката - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бюрги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново, удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "отношение" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се приеме нула като логаритъм от едно и 100 като логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото нещо, само 1. Ето как са отпечатани десетични логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и ентусиаст по математика Адриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всички останали, публикуваха своите таблици по-късно от останалите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".

Първите логаритмични таблици са публикувани на руски през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици имаше изчислителни грешки. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време вече е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, даваща разширението на ln(x+1) в

степени на x:

Този израз точно съответства на хода на неговата мисъл, въпреки че той, разбира се, не използва знаците d, ..., а по-тромава символика. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В лекциите си „Елементарна математика с най-висока точкавизия", прочетена през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като обратна функция

експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа

не е формулиран веднага. Есе от Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748) служи за по-нататъшно

развитие на теорията на логаритмичните функции. по този начин

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

, ако a > 1

, ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този методнай-универсален за решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Диаграмата на решението изглежда така:

1. Приведете неравенството във формата, където е функцията от лявата страна
, а отдясно 0.

2. Намерете домейна на функцията
.

3. Намерете нулите на функцията
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте областта на дефиниция и нули на функцията върху числовата ос.

5. Определете знаците на функцията
върху получените интервали.

6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности и запишете отговора.

Пример 1.

Решение:

Да приложим интервалния метод

където

За тези стойности всички изрази под логаритмичните знаци са положителни.

отговор:

Пример 2.

Решение:

1-во начин . ADL се определя от неравенство х> 3. Вземане на логаритми за такива хкъм основа 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде разрешено чрез прилагане на правила за разширение, т.е. сравнявайки факторите с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянен знак на функцията

следователно може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянен знак на функцията f(х):

отговор:

2-ри метод . Нека директно приложим идеите на интервалния метод към първоначалното неравенство.

За да направите това, припомнете си, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство при х> 3 е еквивалентно на неравенство

или

Последното неравенство се решава чрез интервалния метод

отговор:

Пример 3.

Решение:

Да приложим интервалния метод

отговор:

Пример 4.

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Това

За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод

В първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва при х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

отговор:

Пример 5.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Нека използваме метода на интервала или

отговор:

Пример 6.

Решение:

Неравенството е равно на система

Нека

Тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или, разгъване

квадратен тричленпо фактори,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Преди това неравенството не беше решено с помощта на метода на рационализация; Това е "новото модерно" ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на S.I. Kolesnikova)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - познава ли го експертът от Единния държавен изпит и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: „Откъде го взе - 2?“
Сега методът се рекламира навсякъде. И за специалистите има насоки, свързани с този метод, и в „Най-пълните издания типични опции..." Решение C3 използва този метод.
ЧУДЕСЕН МЕТОД!

"Магическа маса"

В други източници

Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

Ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Извършеното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства.

Пример 4.

log x (x 2 -3)<0

Решение:

Пример 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Решение:

отговор. (0; 0,5)U.

Пример 6.

За да решим това неравенство, вместо знаменателя записваме (x-1-1)(x-1), а вместо числителя записваме произведението (x-1)(x-3-9 + x).

отговор : (3;6)

Пример 7.

Пример 8.

2.3. Нестандартна замяна.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Нека направим замяната y=3 x -1; тогава това неравенство ще приеме формата

Log 4 log 0,25
.

защото log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Нека направим замяната t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, чието решение са интервалите - .

По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две прости неравенства
Решението на това множество са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства,
тоест агрегати

Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. По този начин първоначалното неравенство е изпълнено за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

Решение:

Неравенството е равно на система

Решението на второто неравенство, определящо ODZ, ще бъде множеството от тях х,

за което х > 0.

За да решим първото неравенство, правим заместването

Тогава получаваме неравенството

или

Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода

интервали: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме

или

Много такива х, които удовлетворяват последното неравенство

принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата,

а оттам и първоначалното неравенство.

отговор:

2.4. Задачи с капани.

Пример 1.

.

Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 . Следователно всички x са от интервала 0

Пример 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Факт е, че второто число очевидно е по-голямо от

Заключение

Не беше лесно да се намерят конкретни методи за решаване на проблеми с C3 от голямо изобилие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартно заместване , задачи с капани по ОДЗ. Тези методи не са включени в училищната програма.

Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на Единния държавен изпит в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формираха основата на колекцията „С3 Логаритмични неравенства с решения“, която стана проектен продукт на моята дейност. Хипотезата, която поставих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако знаете тези методи.

Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да правя това. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.

Изводи:

Така целта на проекта е постигната и проблемът е решен. И получих най-пълния и разнообразен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. По време на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически мисловни операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.

Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Придобих: значителен училищен опит, умение да получавам информация от различни източници, да проверявам нейната достоверност и да я класирам по важност.

В допълнение към преките познания по математика, разширих практическите си умения в областта на компютърните науки, придобих нови знания и опит в областта на психологията, установих контакти със съученици и се научих да си сътруднича с възрастни. По време на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (стандартни задачи C3).

2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.

3. Самарова С. С. Решаване на логаритмични неравенства.

4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семенов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-