МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ - представяне на явление или процес, изучаван в конкретни научни знания, на езика на математическите понятия. В този случай се очаква редица свойства на изследваното явление да бъдат получени чрез изследване на действителните математически характеристики на модела. Изграждане на М.м. най-често продиктувани от необходимостта да имаш количествен анализявления и процеси, които се изучават, без които от своя страна е невъзможно да се направят експериментално проверими прогнози за тяхното протичане.

Процесът на математическо моделиране, като правило, преминава през следните етапи. На първия етап се идентифицират връзките между основните параметри на бъдещата М.м. Става въпрос преди всичко за качествен анализизследваните явления и формулирането на модели, свързващи основните обекти на изследване. На тази основа се идентифицират обекти, които могат да бъдат описани количествено. Етапът завършва с изграждането на хипотетичен модел, с други думи, записване на езика на математическите понятия на качествени идеи за връзките между основните обекти на модела, които могат да бъдат характеризирани количествено.

На втория етап се изследват реалните математически проблеми, до които води конструираният хипотетичен модел. Основното на този етап е да се получат емпирично проверими теоретични следствия (решение на пряката задача) в резултат на математическия анализ на модела. В същото време често се срещат случаи, когато за да се конструира и изследва М.м. в различни области на конкретното научно познание се използва един и същ математически апарат (например диференциални уравнения) и възникват математически задачи от един и същи тип, макар и много нетривиални във всеки конкретен случай. Освен това на този етап използването на високоскоростни компютри (компютри) става от голямо значение, което прави възможно получаването на приблизителни решения на проблеми, често невъзможни в рамките на чистата математика, с преди това недостъпни (без използването на на компютър) степен на точност.

Третият етап се характеризира с дейности за идентифициране на степента на адекватност на изградената хипотетична М.М. тези явления и процеси, за които е предназначен да изучава. А именно, ако всички параметри на модела са посочени, изследователите се опитват да открият до каква степен, в границите на точността на наблюдение, техните резултати са в съответствие с теоретичните последици от модела. Отклоненията извън границите на точността на наблюдение показват неадекватността на модела. Често обаче има случаи, когато при конструирането на модела остават редица негови параметри

несигурен. Проблеми, при които параметричните характеристики на модела са установени по такъв начин, че теоретичните последствия да са сравними, в границите на точността на наблюдение, с резултатите от емпиричните тестове, се наричат ​​обратни проблеми.

На четвъртия етап, като се вземе предвид идентифицирането на степента на адекватност на изградения хипотетичен модел и появата на нови експериментални данни за изследваните явления, се извършва последващ анализ и модификация на модела. Тук взетото решение варира от безусловно отхвърляне на приложените математически инструменти до приемане на изградения модел като основа за изграждането на принципно нова научна теория.

Първо М.м. се появява в древната наука. Да, за моделиране слънчева системаГръцкият математик и астроном Евдокс дава на всяка планета четири сфери, комбинацията от движенията на които създава хипопед - математическа крива, подобна на наблюдаваното движение на планетата. Тъй като обаче този модел не може да обясни всички наблюдавани аномалии в движението на планетите, по-късно той е заменен от епицикличния модел на Аполоний от Перга. Последният модел е използван в своите изследвания от Хипарх, а след това, след като го е подложил на известна модификация, от Птолемей. Този модел, подобно на своите предшественици, се основава на убеждението, че планетите претърпяват еднакви кръгови движения, чието припокриване обяснява очевидните нередности. Трябва да се отбележи, че моделът на Коперник е фундаментално нов само в качествен смисъл (но не и като M.M.). И само Кеплер, въз основа на наблюденията на Тихо Брахе, построи нов M.M. Слънчева система, което доказва, че планетите се движат не по кръгови, а по елиптични орбити.

В момента за най-адекватни се считат тези, конструирани да описват механични и физични явления. Относно адекватността на М.м. извън физиката може, с някои изключения, да се говори с доста предпазливост. Въпреки това, фиксирането на хипотетичния характер, а често и просто неадекватността на M.m. в различни области на знанието, тяхната роля в развитието на науката не бива да се подценява. Често има случаи, когато дори модели, които далеч не са адекватни, значително са организирали и стимулирали по-нататъшни изследвания, които, наред с погрешни заключения, съдържат и зрънца истина, които напълно оправдават усилията, положени за разработването на тези модели.

Литература:

Математическо моделиране. М., 1979;

Рузавин Г.И. Математизация на научното познание. М., 1984;

Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М., Григорян А.А., Девяткова Г.Н., Угер Е.Г. Диференциални уравнения в екологията: историческо и методологическо отражение // Въпроси на историята на естествените науки и технологиите. 1997. № 3.

Речник на философските термини. Научно издание на професор В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, стр. 310-311.

За да изградите математически модел, трябва:

1. внимателно анализирайте реален обект или процес;
2. подчертават най-съществените му характеристики и свойства;
3. дефинирайте променливи, т.е. параметри, чиито стойности влияят върху основните характеристики и свойства на обекта;
4. описват зависимостта на основните свойства на обект, процес или система от стойностите на променливите, използвайки логико-математически връзки (уравнения, равенства, неравенства, логико-математически конструкции);
5. подчертават вътрешните връзки на обект, процес или система с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции;
6. идентифицират външните връзки и ги описват с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции.

Математическото моделиране, в допълнение към изучаването на обект, процес или система и изготвянето на математическото му описание, също включва:

1. изграждане на алгоритъм, който моделира поведението на обект, процес или система;
2. проверка на адекватността на модела и обекта, процеса или системата въз основа на изчислителни и пълномащабни експерименти;
3. настройка на модела;
4. използване на модела.

Математическото описание на изследваните процеси и системи зависи от:

1. естеството на реален процес или система и се съставя въз основа на законите на физиката, химията, механиката, термодинамиката, хидродинамиката, електротехниката, теорията на пластичността, теорията на еластичността и др.
2. необходимата надеждност и точност на изследването и изследването на реални процеси и системи.

Изграждането на математически модел обикновено започва с изграждането и анализа на най-простия, груб математически модел на разглеждания обект, процес или система. В бъдеще, ако е необходимо, моделът се усъвършенства и съответствието му с обекта е по-пълно.

Да вземем един прост пример. Трябва да определите площта на повърхността бюро. Обикновено това се прави чрез измерване на неговата дължина и ширина и след това умножаване на получените числа. Тази елементарна процедура всъщност означава следното: реален обект (повърхност на маса) се заменя с абстрактен математически модел - правоъгълник. Размерите, получени чрез измерване на дължината и ширината на повърхността на масата, се присвояват на правоъгълника, а площта на такъв правоъгълник приблизително се приема за необходимата площ на масата. Въпреки това, правоъгълният модел за бюро е най-простият, най-груб модел. Ако подходите по-сериозно към проблема, преди да използвате правоъгълен модел за определяне на площта на масата, този модел трябва да бъде проверен. Проверките могат да се извършват по следния начин: измерете дължините на противоположните страни на масата, както и дължините на нейните диагонали и ги сравнете една с друга. Ако с необходимата степен на точност дължините на противоположните страни и дължините на диагоналите са равни по двойки, тогава повърхността на масата наистина може да се разглежда като правоъгълник. В противен случай правоъгълният модел ще трябва да бъде отхвърлен и заменен с общ четириъгълен модел. При по-високи изисквания за точност може да се наложи моделът да се прецизира още повече, например да се вземе предвид закръгляването на ъглите на масата.

С това прост примербеше показано, че математическият модел не се определя еднозначно от обекта, процеса или система.

ИЛИ (ще бъде уточнено утре)

Начини за решаване на математика. Модели:

1, Изграждане на модел въз основа на законите на природата (аналитичен метод)

2. Формалният начин с използване на статистически методи. Обработка и резултати от измерване (статистически подход)

3. Изграждане на модел на базата на модел на елементи (сложни системи)

1, Аналитичен - използване с достатъчно проучване. Общата схема е известна. Модели.

2. експериментирам. При липса на информация.

3. Имитация m - изследва свойствата на обекта. Общо взето.

Пример за конструиране на математически модел.

Математически модел- Това математическо представянереалност.

Математическо моделиранее процес на конструиране и изучаване на математически модели.

Всички природни и социални науки, които използват математиката, по същество се занимават с математическо моделиране: те заменят обект с неговия математически модел и след това изучават последния. Връзката между математическия модел и реалността се осъществява с помощта на верига от хипотези, идеализации и опростявания. С помощта на математически методиПо правило се описва идеален обект, конструиран на етапа на смислено моделиране.

Защо са необходими модели?

Много често при изучаването на всеки обект възникват трудности. Самият оригинал понякога не е наличен, или използването му не е препоръчително, или използването на оригинала изисква високи разходи. Всички тези проблеми могат да бъдат решени чрез симулация. В известен смисъл моделът може да замести обекта на изследване.

Най-простите примери за модели

§ Снимката може да се нарече модел на човек. За да разпознаете човек, достатъчно е да видите неговата снимка.

§ Архитектът създава модел на нов ж.к. Той може да премести висока сграда от една част в друга с движение на ръката си. В действителност това не би било възможно.

Видове модели

Моделите могат да бъдат разделени на материал"И перфектен. горните примери са материални модели. Идеалните модели често имат емблематични форми. Реалните понятия се заменят с някакви знаци, които лесно могат да бъдат записани на хартия, в паметта на компютъра и т.н.

Математическо моделиране

Математическото моделиране принадлежи към класа на символното моделиране. Освен това моделите могат да бъдат създадени от всякакви математически обекти: числа, функции, уравнения и др.

Изграждане на математически модел

§ Могат да се отбележат няколко етапа на конструиране на математически модел:

1. Разбиране на проблема, идентифициране на най-важните за нас качества, свойства, количества и параметри.

2. Въвеждане на нотация.

3. Изготвяне на система от ограничения, на които трябва да отговарят въведените стойности.

4. Формулиране и записване на условия, на които трябва да отговаря желаното оптимално решение.

Процесът на моделиране не завършва със създаването на модел, а само започва с него. След като съставят модел, те избират метод за намиране на отговора и решаване на проблема. след като се намери отговорът, той се сравнява с реалността. И е възможно отговорът да не е задоволителен, в който случай моделът се модифицира или дори се избира съвсем различен модел.

Пример за математически модел

Задача

Производственото обединение, което включва две мебелни фабрики, има нужда от обновяване на машинния си парк. И първото мебелна фабрикаТри машини трябва да бъдат подменени, а втората има нужда от седем. Поръчки могат да се правят в два завода за металорежещи машини. Първият завод може да произведе не повече от 6 машини, а вторият завод ще приеме поръчка, ако има поне три от тях. Трябва да определите как да правите поръчки.

В тази статия предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои проблеми, свързани с математическото моделиране.

Друг въпрос, който имаме, са математическите модели в икономиката, примери за които ще разгледаме дефиницията малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.

Понятието "модел"

Често чуваме думата „модел“. какво е това Този термин има много определения, ето само три от тях:

• специфичен обект, който е създаден да получава и съхранява информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н., на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствено, описание с помощта на знаци и т.н.);
• Моделът също означава отражение на конкретна ситуация, живот или управление;
• моделът може да бъде малко копие на обект (те са създадени за по-подробно проучване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и връзките).

Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате подробно сложна системаили обект.

Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица характеристики:

• по област на използване (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
• по динамика (статични и динамични);
• по отрасъл на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
• по метода на представяне (материален и информационен).

Информационните модели от своя страна се делят на символни и вербални. А символичните - на компютърни и некомпютърни. Сега нека да преминем към подробно разглеждане на примери за математическия модел.

Математически модел

Както може би се досещате, математическият модел отразява всякакви характеристики на обект или явление, използвайки специални математически символи. Математиката е необходима, за да се моделират моделите на заобикалящия свят на неговия специфичен език.

Методът на математическото моделиране е възникнал доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Въпреки това тласъкът за развитие този методмоделирането даде началото на появата на компютри (електронни компютри).

Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и според някои знаци. Те са представени в таблицата по-долу.

Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо най-новата класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.

Описателни модели

В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.

Нека започнем с факта, че този тип може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем по никакъв начин да повлияем на резултата от събитието.

Ярък пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта и разстоянието от Земята на комета, нахлула в просторите на нашата слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за всяка опасност. За съжаление не можем да повлияем на изхода от събитието. Въз основа на получените изчисления обаче е възможно да се предприемат всякакви мерки за запазване на живота на Земята.

Оптимизационни модели

Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да служат като различни текущи ситуации. В този случай говорим за модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Определено имат някакви параметри. За да стане напълно ясно, нека да разгледаме пример от селскостопанския сектор.

Имаме хамбар, но зърното много бързо се разваля. В този случай трябва да изберем правилния температурен режими оптимизирайте процеса на съхранение.

По този начин можем да дефинираме понятието „модел на оптимизация“. В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя: този тип принадлежи към класа на екстремните проблеми, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.

Нека отбележим още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).

Многокритериални модели

Сега ви каним да поговорим малко за математическия модел на многокритериалната оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес според всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?

Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене за големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищните столове, летни лагери, болници и така нататък.

Какви критерии са ни дадени в тази задача?

1. Храненето трябва да е здравословно.
2. Разходите за храна трябва да са минимални.

Както можете да видите, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаването на даден проблем е необходимо да се търси оптимално решение, баланс между два критерия.

Игрови модели

Когато говорим за модели на игри, е необходимо да разберем понятието „теория на игрите“. Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Просто трябва да разберете това, за разлика от истински конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.

Сега ще предоставим минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво представлява моделът на играта. И така, моделът задължително съдържа партии (две или повече), които обикновено се наричат ​​играчи.

Всички модели имат определени характеристики.

Моделът на играта може да бъде сдвоен или множество. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е двоен, ако са повече, той е множествен. Можете също така да различите антагонистична игра, тя се нарича още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на един от участниците е равна на загубата на другия.

Симулационни модели

В този раздел ще обърнем внимание на симулационните математически модели. Примерите за задачи включват:

• модел на динамика на популацията на микроорганизмите;
• модел на молекулярно движение и т.н.

В случая говорим за модели, максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират някакво проявление в природата. В първия случай, например, можем да симулираме динамиката на броя на мравките в една колония. В същото време можете да наблюдавате съдбата на всеки отделен индивид. В този случай рядко се използва математическо описание, по-често присъстват писмени условия:

• след пет дни женската снася яйца;
• след двадесет дни мравката умира и т.н.

По този начин те се използват за описание на голяма система. Математически извод е обработката на получените статистически данни.

Изисквания

Много е важно да знаете, че този тип модели имат някои изисквания, включително тези, посочени в таблицата по-долу.

Универсалност	Това свойство ви позволява да използвате един и същ модел, когато описвате подобни групи от обекти. Важно е да се отбележи, че универсалните математически модели са напълно независими от физическа природаобект на изследване
Адекватност	Тук е важно да се разбере, че това свойство ви позволява да възпроизвеждате реални процеси възможно най-точно. В оперативните задачи това свойство на математическото моделиране е много важно. Пример за модел е процесът на оптимизиране на използването на газова система. В този случай се сравняват изчислените и действителните показатели, в резултат на което се проверява коректността на съставения модел
точност	Това изискване предполага съвпадението на стойностите, които получаваме при изчисляване на математическия модел и входните параметри на нашия реален обект
Икономичен	Изискването за рентабилност за всеки математически модел се характеризира с разходи за внедряване. Ако се работи с модела ръчно, тогава е необходимо да се изчисли колко време ще отнеме решаването на една задача с помощта на този математически модел. Ако говорим за компютърно проектиране, тогава се изчисляват показатели за времето и разходите за компютърна памет

Етапи на моделиране

Общо математическото моделиране обикновено се разделя на четири етапа.

1. Формулиране на закони, свързващи части от модела.
2. Изучаване на математически проблеми.
3. Установяване на съвпадението на практически и теоретични резултати.
4. Анализ и модернизация на модела.

Икономически и математически модел

В този раздел ще подчертаем накратко проблема, като примерите за задачи включват:

• формиране на производствена програма за производство на месни продукти, която осигурява максимална производствена печалба;
• максимизиране на печалбата на организацията чрез изчисляване оптимално количествопроизводство на маси и столове в мебелна фабрика и др.

Икономико-математическият модел показва икономическа абстракция, която се изразява с помощта на математически термини и символи.

Компютърен математически модел

Примери за компютърен математически модел са:

• хидравлични проблеми с помощта на блок-схеми, диаграми, таблици и др.;
• проблеми с механиката твърдои така нататък.

Компютърният модел е изображение на обект или система, представено във формата:

• маси;
• блокови схеми;
• диаграми;
• графики и така нататък.

Освен това този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.

Изграждане на икономико-математически модел

Вече говорихме за това какво е икономико-математически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерв за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.

Няма да разглеждаме изцяло проблема, а само ще изградим икономико-математически модел. Критерият на нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: А=р1*х1+р2*х2..., клоняща към максимума. В този модел p е печалбата на единица, а x е броят на произведените единици. След това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщят.

Пример за изграждане на прост математически модел

Задача.Рибарят се върна със следния улов:

• 8 риби - обитатели на северните морета;
• 20% от улова са жители на южните морета;
• От местната река не се намери нито една риба.

Колко риби е купил от магазина?

И така, пример за конструиране на математически модел на този проблем е следният. Означаваме общия брой риби с x. Следвайки условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математически модел на проблема: x=0,2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.

Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на обект модел, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ние разбираме процеса на установяване на съответствие на даден реален обект с определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което ни позволява да получим характеристиките на реалния разглеждан обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея».

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често се изграждат под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение (по параметри), разпределени модели в друго и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

• Структурни или функционални модели

Структурни моделипредставляват обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционални моделине използвайте такива представяния и отразявайте само външно възприеманото поведение (функциониране) на обекта. В екстремния си израз те се наричат ​​още модели „черна кутия”. Възможни са и комбинирани видове модели, които понякога се наричат ​​„ сива кутия».

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат ​​това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на даден смислен модел (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеални пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман формулира това много ясно:

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се приема за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на феномен. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не се вписва добре в съществуващите теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и търсенето на „истинските механизми“ трябва да продължи. Пайърлс включва например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици като втори тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето и може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статуса на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 до тип 2 и сега са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването идва под различни форми. Peierls идентифицира три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели тип 3). Сред тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експериментис въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича „въображаема геометрия“). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователност квантова механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Помислете за механична система, състояща се от пружина, фиксирана в единия край, и маса от маса, прикрепена към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието от центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и използваното натоварване Закон на Хук() и след това използвайте втория закон на Нютон, за да го изразите под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на по отношение на времето: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата на външни сили, липсата на триене, малките отклонения и т.н.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4 опростяване(„ще пропуснем някои подробности за яснота“), тъй като някои основни универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. До известно приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с ниско триене, за не много време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват на приложимост.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често повече прост моделни позволява да изучаваме реална система по-добре и по-задълбочено от по-сложна (и, формално, „по-правилна“).

Ако приложим модела на хармоничния осцилатор към обекти, далеч от физиката, неговият съществен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да бъде класифициран като тип 6 аналогия(„нека вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения „твърд“ модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва „мекият“ модел, който се получава чрез малко смущение на „твърдия“. Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Ето някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. В момента не се интересуваме от явната форма на функцията. Ако докажем това поведение мек моделне се различава фундаментално от поведението на твърд модел (независимо от изричния тип смущаващи фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще бъде сведен до изследването на твърд модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор е функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство многофункционалност: Фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в съд с форма на А , или промяна в силата на тока в осцилаторна верига. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Именно този изоморфизъм на закони, изразени чрез математически модели в различни сегменти на научното познание, вдъхновява Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, трябва да излезете с основна диаграма на моделирания обект, да го възпроизведете в рамките на идеализациите на тази наука. Така вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, като всеки материал се определя като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения, по пътя някои детайлите се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измерванията, моделът се усъвършенства и т.н. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Което статично натоварванеще оцелее ли мостът Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния пряк проблем (задаването на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не бъдат зададени правилните въпроси, мостът може да се срути, дори и да е построен добър моделза неговото поведение. И така, през 1879 г. във Великобритания се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратен коефициент на безопасност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: много са известни възможни модели, трябва да изберете конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителната информация може да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта ( проблем с дизайна). Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на решаване на обратната задача ( пасивно наблюдение) или да бъде резултат от експеримент, специално планиран по време на решението ( активно наблюдение).

Един от първите примери за майсторско решение на обратна задача с най-пълното използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Друг пример е математическата статистика. Задачата на тази наука е да разработи методи за записване, описание и анализ на данни от наблюдения и експерименти с цел изграждане на вероятностни модели на масови случайни явления. Тези. наборът от възможни модели е ограничен до вероятностни модели. При конкретни задачи наборът от модели е по-ограничен.

Системи за компютърна симулация

За подпомагане на математическото моделиране са разработени системи за компютърна математика, например Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Те ви позволяват да създавате формални и блокови модели на прости и сложни процесии устройства и лесно променя параметрите на модела по време на симулация. Блокови моделиса представени от блокове (най-често графични), чийто набор и връзка се уточняват от схемата на модела.

Допълнителни примери

Моделът на Малтус

Темпът на растеж е пропорционален на текущия размер на населението. Описва се с диференциалното уравнение

където е определен параметър, определен от разликата между раждаемостта и смъртността. Решението на това уравнение е експоненциална функция. Ако раждаемостта надвишава смъртността (), размерът на населението се увеличава неограничено и много бързо. Ясно е, че реално това няма как да се случи поради ограничен ресурс. Когато се достигне определен критичен обем на населението, моделът престава да бъде адекватен, тъй като не отчита ограничените ресурси. Усъвършенстване на модела на Малтус може да бъде логистичен модел, който се описва от диференциалното уравнение на Верхулст

където е „равновесният” размер на населението, при който раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесна стойност и това поведение е структурно стабилно.

Система хищник-жертва

Да кажем, че в даден район живеят два вида животни: зайци (ядат растения) и лисици (ядат зайци). Нека броят на зайците, броят на лисиците. Използвайки модела на Малтус с необходимите изменения, за да вземем предвид изяждането на зайци от лисици, стигаме до следната система, наречена модели Тави - Volterra:

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите на хармоничен осцилатор. Както при хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

1. „Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. - 2-ро изд., рев. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А.Г. Моделиране технологични процеси: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Лека и хранителна промишленост, 1984. – 344 с.
7. Уикиречник: математически модел
8. CliffsNotes.com. Речник на науката за Земята. 20 септември 2010 г
9. Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
10. „Една теория се счита за линейна или нелинейна в зависимост от вида на математическия апарат – линеен или нелинеен – и какъв вид линейни или нелинейни математически модели използва. ...без да отричам последното. Един съвременен физик, ако трябваше да пресъздаде дефиницията на толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, давайки предпочитание на нелинейността като по-важната и широко разпространена от двете противоположности, би определил линейността като „не нелинейност." Данилов Ю., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия „Синергетика: от миналото към бъдещето“. издание 2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
11. „Динамичните системи, моделирани чрез краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат ​​концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Една и съща система при различни условия може да се счита за концентрирана или разпределена. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнения със закъснение. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и са необходими безкраен брой данни, за да се определи нейното състояние. Анищенко В. С., Динамични системи, Сорос образователен журнал, 1997, № 11, стр. 77-84.
12. „В зависимост от естеството на процесите, които се изучават в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистичното моделиране отразява детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране изобразява вероятностни процеси и събития. ... Статичното моделиране служи за описване на поведението на обект във всеки момент от времето, а динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране се използва за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ни позволява да отразяваме непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. ” Советов Б. Я., Яковлев С. А. ISBN 5-06-003860-2
13. Обикновено математическият модел отразява структурата (устройството) на моделирания обект, свойствата и връзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционален или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Очевидно, но най-важното начален етапконструирането или изборът на математически модел е получаване на възможно най-ясна картина за моделирания обект и усъвършенстване на неговия смислен модел въз основа на неформални дискусии. Не бива да пестите време и усилия на този етап, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаването на математически проблем, да се окаже неефективна или дори напразно изразходвана поради недостатъчно внимание към този аспект на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
15. « Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на стандартни математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) изборът на процедура за приближаване на реални процеси при конструиране на модел е обоснован. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.
16. Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, особености на подходите. С примери от механиката: Урок. - 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

вектор на входните променливи, X=t,

Y - вектор на изходните променливи, Y=t,

Z - вектор външни влияния, Z= t,

t - времева координата.

Строителство математически моделсе състои в определяне на връзки между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху крайния резултат.

Обикновено има толкова много от тях, че е невъзможно да се въведе целият им набор в модела. При изграждане математически моделПреди изследването възниква задачата да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат ( математически моделобикновено включва значително по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експериментални данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математически модел. Такава връзка често се изразява чрез диференциални системи частични диференциални уравнения(например в проблемите на механиката на твърди тела, течности и газове, теорията на филтрацията, топлопроводимостта, теорията на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математически проблем, чието решение с необходимата точност изразява резултатите от интерес за специалиста.

Форма и принципи на представяне математически моделзависи от много фактори.

Според принципите на изграждане математически моделиразделени на:

1. аналитичен;
2. имитация.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),
2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриранеИ диференциация),
3. проблеми с оптимизацията,
4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулация.

IN симулационно моделиранефункционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите симулират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като същевременно ги запазват логическа структураи последователността на възникване във времето. Симулационно моделираневи позволява да получите информация за изходните данни състояния на процесаили системи в определени моменти от време, но предвиждането на поведението на обекти, процеси или системи тук е трудно. Може да се каже, че симулационни модели- извършват се на компютър изчислителни експериментис математически модели, симулиращи поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от характера на реалните процеси и системи, които се изучават математически моделиможе да бъде:

1. детерминистичен,
2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически връзки) са доста точно установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения и матрична алгебра.

Стохастичен моделотчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

В зависимост от вида на входната информация, моделите се разделят на:

1. непрекъснато,
2. дискретни.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите връзки са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратното, ако информацията и параметрите са дискретни, а връзките са нестабилни, тогава математически модел- дискретни.

Въз основа на поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,
2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Според степента на съответствие между