Глава първа.

Извличане на най-голямото цяло число от дадено цяло число корен квадратен.

170. Предварителни бележки.

а)Тъй като ще говорим за извличане само на корен квадратен, за да съкратим речта в тази глава, вместо „корен квадратен“ ще кажем просто „корен“.

б)Ако повдигнем на квадрат числата от естествения ред: 1,2,3,4,5. . . , тогава получаваме следната таблица с квадрати: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Очевидно има много цели числа, които не са в тази таблица; Разбира се, невъзможно е да се извлече целият корен от такива числа. Следователно, ако трябва да извлечете корена на което и да е цяло число, напр. необходимо за намиране на √4082, тогава ние се съгласяваме да разбираме това изискване, както следва: извлечете целия корен на 4082, ако е възможно; ако не е възможно, тогава трябва да намерим най-голямото цяло число, чийто квадрат е 4082 (такова число е 63, тъй като 63 2 = 3969 и 64 2 = 4090).

V)Ако това число е по-малко от 100, тогава коренът му се намира с помощта на таблицата за умножение; Така √60 ще бъде 7, тъй като седем 7 е равно на 49, което е по-малко от 60, а осем 8 е равно на 64, което е по-голямо от 60.

171. Извличане на корен от число по-малко от 10 000, но по-голямо от 100.Да кажем, че трябва да намерим √4082. Тъй като това число е по-малко от 10 000, неговият корен е по-малък от √l0 000 = 100. От друга страна, това число е по-голямо от 100; това означава, че коренът му е по-голям от (или равен на 10). (Ако например е било необходимо да се намери √ 120 , тогава въпреки че числото 120 > 100, обаче √ 120 е равно на 10, защото 11 2 = 121.) Но всяко число, което е по-голямо от 10, но по-малко от 100, има 2 цифри; Това означава, че търсеният корен е сумата:

десетки + единици,

и следователно неговият квадрат трябва да е равен на сумата:

Тази сума трябва да е най-големият квадрат на 4082.

Нека вземем най-голямото от тях, 36, и приемем, че квадратът на корен от десетиците ще бъде равен точно на този най-голям квадрат. Тогава броят на десетиците в корена трябва да е 6. Нека сега проверим дали това винаги трябва да е така, т.е. броят на десетиците в корена винаги е равен на най-големия корен от числото на стотиците на корена.

Наистина, в нашия пример броят на десетките на корена не може да бъде повече от 6, тъй като (7 dec.) 2 = 49 стотици, което надвишава 4082. Но не може да бъде по-малко от 6, тъй като 5 dec. (с единици) е по-малко от 6 des., а междувременно (6 des.) 2 = 36 стотици, което е по-малко от 4082. И тъй като търсим най-големия цял корен, не трябва да вземаме 5 des за корен, когато и 6 десетици не са много.

И така, намерихме броя на десетиците от корена, а именно 6. Записваме това число отдясно на знака =, като помним, че това означава десетици от корена. Като го повдигнем на квадрат, получаваме 36 стотици. Изваждаме тези 36 стотици от 40-те стотици на радикалното число и изваждаме останалите две цифри от това число. Остатъкът 482 трябва да съдържа 2 (6 дек.) (единици) + (единици)2. Продуктът (6 дес.) (единици) трябва да бъде десетици; следователно двойното произведение на десетици по единици трябва да се търси в десетиците на остатъка, т.е. в 48 (получаваме техния брой, като отделяме една цифра вдясно в остатъка от 48 "2). Удвоените десетици на корена съставляват 12. Това означава, че ако умножим 12 по единиците на корена (които все още са неизвестни), тогава трябва да получим числото, съдържащо се в 48. Следователно, ние разделяме 48 на 12.

За да направите това, начертайте вертикална линия вляво от остатъка и зад нея (отстъпвайки от линията едно място вляво за целта, която сега ще се появи) пишем двойно първата цифра на корена, т.е. 12, и разделяме 48 на него. В частното получаваме 4.

Въпреки това не можем да гарантираме предварително, че числото 4 може да бъде взето като единици на корена, тъй като сега сме разделили на 12 цялото число на десетките от остатъка, докато някои от тях може да не принадлежат към двойното произведение на десетиците по единици, но са част от квадрата на единиците. Следователно числото 4 може да е голямо. Трябва да го изпробваме. Очевидно е подходящо, ако сборът 2 (6 dec.) 4 + 4 2 не е повече от остатъка 482.

В резултат на това получаваме сумата от двете наведнъж. Полученият продукт се оказа 496, което е по-голямо от остатъка 482; Това означава, че номер 4 е голям. След това ще тестваме следващото по-малко число 3 по същия начин.

Примери.

В пример 4, когато разделяме 47-те десетки от остатъка на 4, получаваме 11 като частно. Но тъй като броят на единиците на корена не може да бъде двуцифрено число 11 или 10, трябва директно да проверим числото 9.

В пример 5, след изваждане на 8 от първото лице на квадрата, остатъкът се оказва 0, а следващото лице също се състои от нули. Това показва, че търсеният корен се състои само от 8 десетици и следователно трябва да се постави нула на мястото на единиците.

172. Изваждане на корен от число, по-голямо от 10000. Да кажем, че трябва да намерим √35782. Тъй като радикалното число надвишава 10 000, коренът му е по-голям от √10000 = 100 и следователно се състои от 3 цифри или повече. Без значение от колко цифри се състои, винаги можем да го разглеждаме като сбор само от десетици и единици. Ако, например, коренът се окаже 482, тогава можем да го броим като количество от 48 des. + 2 единици Тогава квадратът на корена ще се състои от 3 члена:

(дек.) 2 + 2 (дек.) (единица) + (единица) 2 .

Сега можем да разсъждаваме точно по същия начин, както при намирането на √4082 (в предишния параграф). Единствената разлика ще бъде, че за да намерим десетиците от корена на 4082, трябваше да извлечем корена от 40 и това можеше да се направи с помощта на таблицата за умножение; сега, за да получим десетици√35782, ще трябва да вземем корен от 357, което не може да се направи с помощта на таблицата за умножение. Но можем да намерим √357 с помощта на техниката, описана в предишния параграф, тъй като числото 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

След това процедираме, както направихме при намирането на √4082, а именно: вляво от остатъка 3382 начертаваме вертикална линия и зад нея пишем (отстъпвайки едно място назад от линията) два пъти броя на десетките от намерения корен, т.е. 36 (два пъти 18). В остатъка отделяме една цифра отдясно и разделяме броя на десетките от остатъка, т.е. 338, на 36. В частното получаваме 9. Тестваме това число, за което го присвояваме на 36 отдясно и умножете по него. Продуктът се оказа 3321, което е по-малко от остатъка. Това означава, че числото 9 е подходящо, ние го пишем в основата.

Като цяло, за да извлечете корен квадратен от всяко цяло число, първо трябва да извлечете корена от неговите стотици; ако това число е повече от 100, тогава ще трябва да търсите корена на числото на стотиците от тези стотици, тоест на десетките хиляди на дадено число; ако това число е повече от 100, ще трябва да вземете корен от числото на стотици десетки хиляди, тоест от милионите на дадено число и т.н.

Примери.

В последния пример, след като намерихме първата цифра и извадихме нейния квадрат, получаваме остатък 0. Изваждаме следващите 2 цифри 51. Разделяйки десетиците, получаваме 5 des, докато двойната намерена цифра на корена е 6. Това означава, че от разделянето на 5 на 6 получаваме 0. Поставяме 0 на второ място в корена и добавяме следващите 2 цифри към остатъка; получаваме 5110. След това продължаваме както обикновено.

В този пример необходимият корен се състои само от 9 стотици и следователно нули трябва да бъдат поставени на местата на десетките и на местата на единиците.

правило. За да извлечете корен квадратен от дадено цяло число, разделете го на дясна ръкавляво, на ръба, по 2 цифри, с изключение на последната, която може да съдържа една цифра.
За да намерите първата цифра на корена, вземете корен квадратен от първото лице.
За да се намери втората цифра, квадратът на първата цифра на корена се изважда от първото лице, второто лице се взема в остатъка и броят на десетките на полученото число се разделя на удвоена първата цифра на корена ; полученото цяло число се тества.
Този тест се извършва по следния начин: зад вертикалната черта (вляво от остатъка) напишете два пъти предварително намереното число на корена и към него, с дясната страна, тестваната цифра се присвоява, полученото число се умножава по тестваната цифра след това добавяне. Ако след умножението резултатът е число, по-голямо от остатъка, тогава тестваната цифра не е подходяща и трябва да се тества следващата по-малка цифра.
Следващите цифри от корена се намират по същата техника.
Ако след разрушаването на лицето броят на десетките от полученото число се окаже по-малко от делителя, т.е. по-малко от два пъти намерената част от корена, след това те поставят 0 в корена, премахват следващото лице и продължават действието по-нататък.

173. Брой цифри на корена.От разглеждането на процеса на намиране на корена следва, че има толкова цифри в корена, колкото има лица от по 2 цифри в радикалното число (лявото лице може да има една цифра).

Глава втора.

Извличане на приблизителни квадратни корени от цели числа и дроби .

За извличане на корен квадратен от полиноми вижте допълненията към 2-ра част на § 399 и следващите.

174. Признаци на точен квадратен корен.Точният квадратен корен от дадено число е число, чийто квадрат е точно равен на даденото число. Нека посочим някои признаци, по които може да се прецени дали от дадено число може да се извлече точен корен или не:

а)Ако точният цял ​​корен не се извлича от дадено цяло число (остатъкът се получава при извличане), тогава точният дробен корен не може да бъде намерен от такова число, тъй като всяка дроб, която не е равна на цяло число, когато се умножи по себе си , също произвежда дроб в продукта, а не цяло число.

б)Тъй като коренът на дроб е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя, точният корен на несъкратима дроб не може да бъде намерен, ако не може да бъде извлечен от числителя или знаменателя. Например, невъзможно е да се извлече точният корен от дробите 4/5, 8/9 и 11/15, тъй като в първата дроб не може да се извлече от знаменателя, във втората - от числителя, а в трети - нито от числителя, нито от знаменателя.

От числа, от които не може да се извлече точният корен, могат да се извлекат само приблизителни корени.

175. Приблизителен корен с точност до 1. Приблизителен корен квадратен, с точност до 1, от дадено число (цяло число или дроб, няма значение) е цяло число, което отговаря на следните две изисквания:

1) квадратът на това число не е по-голям от даденото число; 2), но квадратът на това число, увеличен с 1, е по-голям от това число. С други думи, приблизителният квадратен корен с точност до 1 е най-голямото цяло число квадратен корен от дадено число, тоест коренът, който се научихме да намираме в предишната глава. Този корен се нарича приблизителен с точност до 1, защото за да получим точен корен, ще трябва да добавим някаква дроб по-малка от 1 към този приблизителен корен, така че ако вместо неизвестния точен корен вземем този приблизителен, ще направим грешка по-малко от 1.

правило. За да извлечете приблизителен квадратен корен с точност до 1, трябва да извлечете най-големия цяло число от цялата част на даденото число.

Числото, намерено с това правило, е приблизителен корен с недостатък, тъй като липсва точният корен на определена дроб (по-малко от 1). Ако увеличим този корен с 1, получаваме друго число, в което има някакъв излишък над точния корен и този излишък е по-малък от 1. Този корен, увеличен с 1, може също да се нарече приблизителен корен с точност до 1, но с излишък. (Наименованията: „с дефицит“ или „с излишък“ в някои математически книги се заменят с други еквивалентни: „с дефицит“ или „с излишък.“)

176. Приблизителен корен с точност до 1/10. Да кажем, че трябва да намерим √2,35104 с точност 1/10. Това означава, че трябва да намерите десетична дроб, която да се състои от цели единици и десети и да отговаря на следните две изисквания:

1) квадратът на тази дроб не надвишава 2,35104, но 2) ако го увеличим с 1/10, тогава квадратът на тази увеличена дроб надвишава 2,35104.

За да намерим такава дроб, първо намираме приблизителен корен с точност до 1, тоест извличаме корена само от цялото число 2. Получаваме 1 (и остатъкът е 1). Пишем цифрата 1 в основата и поставяме запетая след нея. Сега ще търсим броя на десетите. За да направим това, сваляме до остатък 1 цифрите 35 вдясно от десетичната запетая и продължаваме извличането, сякаш извличаме корена на цялото число 235. Записваме полученото число 5 в корена на мястото на десети. Не се нуждаем от останалите цифри на радикалното число (104). Че полученото число 1,5 всъщност ще бъде приблизителен корен с точност до 1/10, може да се види от следното. Ако трябваше да намерим най-големия корен от 235 с точност до 1, ще получим 15. И така:

15 2 < 235, но 16 2 >235.

Разделяйки всички тези числа на 100, получаваме:

Така че числото 1,5 е това десетичен знак, което нарекохме приблизителен корен с точност до 1/10.

Използвайки тази техника, можем също да намерим следните приблизителни корени с точност до 0,1:

177. Приблизително корен квадратен с точност от 1/100 до 1/1000 и т.н.

Да предположим, че трябва да намерим приблизително √248 с точност 1/100. Това означава: намерете десетична дроб, която ще се състои от цяло, десети и стотни части и ще отговаря на две изисквания:

1) неговият квадрат не надвишава 248, но 2) ако увеличим тази дроб с 1/100, тогава квадратът на тази увеличена дроб надвишава 248.

Ще намерим такава дроб в следната последователност: първо ще намерим цялото число, след това десетите, след това стотните. Коренът на цяло число е 15 цели числа. За да получите броя на десетите, както видяхме, трябва да добавите към остатъка 23 още 2 цифри отдясно на десетичната запетая. В нашия пример тези числа изобщо не присъстват; ние поставяме нули на тяхно място. Като ги добавим към остатъка и продължим така, сякаш намираме корена на цялото число 24 800, ще намерим десетата цифра 7. Остава да намерим стотната. За да направим това, добавяме още 2 нули към остатъка 151 и продължаваме извличането, сякаш намираме корена на цялото число 2 480 000. Получаваме 15,74. Че това число наистина е приблизителен корен от 248 с точност до 1/100, може да се види от следното. Ако трябваше да намерим най-голямото цяло число квадратен корен от цялото число 2 480 000, ще получим 1574; означава:

1574 2 < 2 480 000, но 1575 2 > 2 480 000.

Разделяйки всички числа на 10 000 (= 100 2), получаваме:

Това означава, че 15,74 е онази десетична дроб, която нарекохме приблизителен корен с точност до 1/100 от 248.

Прилагайки тази техника за намиране на приблизителен корен с точност от 1/1000 до 1/10000 и т.н., намираме следното.

правило. За да извлечете от това цели числаили от дадена десетична дроб приблизителен корен с точност от 1/10 до 1/100 до 1/100 и т.н., първо намерете приблизителен корен с точност до 1, като извлечете корена от цялото число (ако не е там, пишете за корена 0 цяло).

След това намират броя на десетите. За да направите това, добавете две цифри от радикалното число вдясно от десетичната запетая към остатъка (ако ги няма, добавете две нули към остатъка) и продължете извличането, както се прави при извличане на корен от цяло число. Полученото число се записва в основата на мястото на десетите.

След това намерете стотното число. За да направите това, две числа вдясно от току-що премахнатите се добавят към остатъка и т.н.

По този начин, когато извличате корена на цяло число с десетична дроб, е необходимо да разделите на лица по 2 цифри, започвайки от десетичната запетая, както отляво (в цялата част на числото), така и отдясно (в дробната част).

Примери.

1) Намерете до 1/100 корени: а) √2; б) √0,3;

В последния пример преобразувахме дробта 3/7 в десетична запетая чрез изчисляване на 8 десетични знака, за да образуваме 4-те лица, необходими за намиране на 4-те десетични знака на корена.

178. Описание на таблицата на квадратните корени.В края на тази книга има таблица с квадратни корени, изчислени с четири цифри. Използвайки тази таблица, можете бързо да намерите корен квадратен от цяло число (или десетична дроб), което е изразено с не повече от четири цифри. Преди да обясним как е структурирана тази таблица, отбелязваме, че винаги можем да намерим първата значима цифра на желания корен без помощта на таблици, като просто погледнем радикалното число; ние също можем лесно да определим кой десетичен знак означава първата цифра на корена и следователно къде в корена, когато намерим неговите цифри, трябва да поставим запетая. Ето няколко примера:

1) √5"27,3 . Първата цифра ще бъде 2, тъй като лявата страна на радикалното число е 5; и коренът от 5 е равен на 2. Освен това, тъй като в цялата част на радикала има само 2 лица, тогава в цялата част на желания корен трябва да има 2 цифри и следователно първата му цифра 2 трябва означават десетици.

2) √9,041. Очевидно в този корен първата цифра ще бъде 3 прости единици.

3) √0,00"83"4. Първо значителна фигурае 9, тъй като лицето, от което трябва да се вземе коренът, за да се получи първата значима цифра, е 83, а коренът от 83 е 9. Тъй като изискваното число няма да съдържа нито цели числа, нито десети, първата цифра 9 трябва означава стотни.

4) √0.73"85. Първата значима цифра е 8 десети.

5) √0,00"00"35"7. Първата значима цифра ще бъде 5 хилядни.

Нека направим още една забележка. Нека приемем, че трябва да извлечем корена на число, което след изхвърляне на заетата дума в него е представено от поредица от числа като това: 5681. Този корен може да бъде един от следните:

Ако вземем корените, които подчертаваме с един ред, тогава всички те ще бъдат изразени с една и съща поредица от числа, точно тези числа, които се получават при извличане на корена от 5681 (това ще бъдат числата 7, 5, 3, 7). ). Причината за това е, че лицата, на които радикалното число трябва да бъде разделено при намиране на цифрите на корена, ще бъдат еднакви във всички тези примери, следователно цифрите за всеки корен ще бъдат еднакви (само позицията на десетичната запетая точката, разбира се, ще бъде различна). По същия начин във всички корени, подчертани от нас с две линии, трябва да получим същите числа, точно тези, с които се изразява √568.1 (тези числа ще бъдат 2, 3, 8, 3), и по същата причина. По този начин цифрите на корените на числата, представени (чрез изпускане на запетаята) от един и същи ред от числа 5681, ще бъдат от два (и само два) вида: или това е редът 7, 5, 3, 7, или ред 2, 3, 8, 3. Същото, очевидно, може да се каже за всяка друга серия от числа. Следователно, както сега ще видим, в таблицата всеки ред от цифри на радикалното число съответства на 2 реда от цифри за корените.

Сега можем да обясним структурата на таблицата и как да я използваме. За яснота на обяснението тук сме показали началото на първата страница на таблицата.

Тази таблица е разположена на няколко страници. На всяка от тях в първата колона вляво са поставени числата 10, 11, 12... (до 99). Тези числа изразяват първите 2 цифри на числото, от което се търси корен квадратен. В горния хоризонтален ред (както и в долния) са цифрите: 0, 1, 2, 3... 9, представляващи 3-тата цифра на това число, а след това по-вдясно са числата 1, 2, 3. . . 9, представляваща 4-та цифра от това число. Всички останали хоризонтални редове съдържат 2 четирицифрени числа, изразяващи квадратни корени от съответните числа.

Да предположим, че трябва да намерите корен квадратен от някакво число, или цяло число, или изразено като десетична дроб. Първо, намираме, без помощта на таблици, първата цифра на корена и неговата цифра. Тогава ще изхвърлим запетаята в това число, ако има такава. Нека първо приемем, че след изхвърляне на запетаята ще останат само 3 цифри, например. 114. Намираме в таблиците в най-лявата колона първите 2 цифри, т.е. 11 и се движим от тях надясно по хоризонталната линия, докато стигнем до вертикалната колона, в горната (и долната) на която е 3-тата цифра на числото , т.е. 4. На това място намираме две четирицифрени числа: 1068 и 3376. Кое от тези две числа да вземем и къде да поставим запетаята в него, това се определя от първата цифра на корена и неговата цифра, която намерихме по-рано. Така че, ако трябва да намерим √0,11"4, тогава първата цифра на корена е 3 десети и следователно трябва да вземем 0,3376 за корен. Ако трябва да намерим √1,14, тогава първата цифра на корена ще бъде 1 и тогава ще вземем 1,068.

По този начин можем лесно да намерим:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 и т.н.

Нека сега приемем, че трябва да намерим корена на число, изразено (чрез премахване на десетичната запетая) с 4 цифри, например √7"45.6. Отбелязвайки, че първата цифра на корена е 2 десетици, намираме за номер 745, както вече беше обяснено, цифрите 2729 (ние забелязваме това число само с пръста си, но не го записваме, след това се придвижваме надясно от това число до дясната страна на таблицата (отзад). последният удебелен ред) срещаме вертикалната колона, която е отбелязана в горната (и долната) 4. цифра на това число, т.е. числото 6, и намираме там числото 1. Това ще бъде изменение, което трябва да се приложи (в ума) към предварително намереното число 2730. Записваме това число и поставяме запетая на правилното място: 27.30.

По този начин намираме например:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 и т.н.

Ако коренното число е изразено само с една или две цифри, тогава можем да приемем, че има една или две нули след тези цифри и след това да продължим, както е обяснено за трицифрено число. Например, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 и т.н.

И накрая, ако радикалното число е изразено с повече от 4 цифри, тогава ще вземем само първите 4 от тях и ще изхвърлим останалите и за да намалим грешката, ако първата от изхвърлените цифри е 5 или повече от 5, тогава ще увеличим с l четвъртата от запазените цифри. Така че:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; и т.н.

Коментирайте. Таблиците показват приблизителния квадратен корен, понякога с недостатък, понякога с излишък, а именно този от тези приблизителни корени, който се доближава до точния корен.

179. Изваждане на корен квадратен от обикновени дроби.Точният квадратен корен от несъкратима дроб може да бъде извлечен само когато и двата члена на дробта са точни квадрати. В този случай е достатъчно да извлечете корена на числителя и знаменателя отделно, например:

Приблизителният квадратен корен от обикновена дроб с известна десетична точност може да бъде намерен най-лесно, ако първо обърнем обикновена дробдо десетична запетая, изчислявайки в тази дроб броя на десетичните знаци след десетичната запетая, който би бил два пъти по-голям от броя на десетичните знаци в желания корен.

Можете обаче да го направите по различен начин. Нека обясним това със следния пример:

Намерете приблизително √ 5 / 24

Нека направим знаменателя точен квадрат. За да направите това, ще бъде достатъчно да умножите и двата члена на фракцията по знаменателя 24; но в този пример можете да го направите по различен начин. Нека разложим 24 на прости множители: 24 = 2 2 2 3. От това разлагане става ясно, че ако 24 се умножи по 2 и още 3, тогава в произведението всеки прост множител ще се повтори четен брой пъти и следователно , знаменателят ще стане квадрат:

Остава да изчислим √30 с известна точност и да разделим резултата на 12. Трябва да се има предвид, че разделянето на 12 също ще намали фракцията, показваща степента на точност. И така, ако намерим √30 с точност 1/10 и разделим резултата на 12, ще получим приблизителен корен от дробта 5/24 с точност 1/120 (а именно 54/120 и 55/120)

Глава трета.

Графика на функцияx = √y .

180. Обратна функция.Нека е дадено уравнение, което определя при като функция на X , например така: y = x 2 . Можем да кажем, че определя не само при като функция на X , но и, обратно, определя X като функция на при , макар и по имплицитен начин. За да направите тази функция изрична, трябва да решите дадено уравнениеотносително X , като при за известен номер; И така, от уравнението, което взехме, намираме: y = x 2 .

Алгебричен израз, получена за x след решаване на уравнението, което определя y като функция от x, се нарича обратна функция на тази, която определя y.

Така че функцията x = √y обратна функция y = x 2 . Ако, както е обичайно, обозначаваме независимата променлива X , и зависимите при , тогава получената сега обратна функция може да бъде изразена по следния начин: y = √ x . По този начин, за да се получи функция, обратна на дадена (директна), е необходимо да се изведе от уравнението, дефиниращо тази дадена функция X в зависимост от г и в получения израз замени г на х , А X на г .

181. Графика на функция y = √ x . Тази функция не е възможна с отрицателна стойност X , но е възможно да се изчисли (с всякаква точност) за всеки положителна стойност х , като за всяка такава стойност функцията получава две различни значенияс еднаква абсолютна стойност, но с противоположни знаци. Ако сте запознати √ Ако обозначим само аритметичната стойност на квадратния корен, тогава тези две стойности на функцията могат да бъдат изразени, както следва: y= ± √ x За да начертаете графика на тази функция, първо трябва да съставите таблица с нейните стойности. Най-лесният начин да създадете тази таблица е от таблицата със стойности на директни функции:

y = x 2 .

х

г

ако стойностите при приемат като ценности X , и обратно:

y= ± √ x

Като начертаем всички тези стойности на чертежа, получаваме следната графика.

На същия чертеж изобразихме (с прекъсната линия) графиката на пряката функция y = x 2 . Нека сравним тези две графики една с друга.

182. Връзката между графиките на преки и обратни функции.Да се ​​състави таблица със стойности на обратната функция y= ± √ x взехме за X тези числа, които са в таблицата на директната функция y = x 2 служи като ценности за при , и за при взе тези числа; които в тази таблица бяха стойностите за х . От това следва, че и двете графики са еднакви, само графиката на пряката функция е така разположена спрямо оста при - как е разположена графиката на обратната функция спрямо оста X - ов. В резултат на това, ако огънем чертежа около права линия ОА разполовяване на прав ъгъл xOy , така че частта от чертежа, съдържаща полуоста о , падна върху частта, която съдържа полуоската о , Това о съвместим с о , всички подразделения о ще съвпадне с раздели о , и точки на парабола y = x 2 ще се изравни със съответните точки на графиката y= ± √ x . Например точки М И Н , чиято ординат 4 , и абсцисите 2 и - 2 , ще съвпадне с точките М" И Н" , за които абсцисата 4 , и ординатите 2 и - 2 . Ако тези точки съвпадат, това означава, че правите линии ММ" И NN" перпендикулярно на ОАи разделете тази права линия наполовина. Същото може да се каже за всички останали съответстващи точки в двете графики.

По този начин графиката на обратната функция трябва да бъде същата като графиката на директната функция, но тези графики са разположени по различен начин, а именно симетрично една спрямо друга спрямо ъглополовящата на ъгъла xOy . Можем да кажем, че графиката на обратната функция е отражение (като в огледало) на графиката на правата функция спрямо ъглополовящата на ъгъла xOy .

Нека да разгледаме този алгоритъм с пример. Ще намерим

1-ва стъпка. Разделяме числото под корена на двуцифрени лица (от дясно на ляво):

2-ра стъпка. Изваждаме корен квадратен от първото лице, т.е. от числото 65 получаваме числото 8. Под първото лице записваме квадрата на числото 8 и изваждаме. Присвояваме второто лице (59) на остатъка:

(номер 159 е първият остатък).

3-та стъпка. Удвояваме намерения корен и записваме резултата отляво:

4-та стъпка. Отделяме една цифра отдясно в остатъка (159), а отляво получаваме числото на десетиците (равно е на 15). След това разделяме 15 на двойно първата цифра на корена, т.е. на 16, тъй като 15 не се дели на 16, тогава частното води до нула, която записваме като втората цифра на корена. И така, в частното получихме числото 80, което удвояваме отново и премахваме следващото ребро

(числото 15 901 е вторият остатък).

5-та стъпка. Във втория остатък отделяме една цифра отдясно и разделяме полученото число 1590 на 160. Резултатът (число 9) записваме като трета цифра на корена и го добавяме към числото 160. Полученото число 1609 умножаваме по 9 и намерете следващия остатък (1420):

IN по-нататъшни действиясе извършват в последователността, посочена в алгоритъма (коренът може да бъде извлечен с необходимата степен на точност).

Коментирайте. Ако радикалният израз е десетична дроб, тогава цялата му част се разделя на ръбове от две цифри отдясно наляво, дробната част - две цифри от ляво на дясно, а коренът се извлича според зададения алгоритъм.

ДИДАКТИЧЕСКИ МАТЕРИАЛ

1. Извадете корен квадратен от числото: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават отново целия пример. В никакъв случай не трябва да правите това! Има две причини за това:

1. Корените на големи числа се появяват в задачи. Особено в текстовите;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се изчисляват почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите мощно оръжие срещу квадратни корени.

И така, алгоритъмът:

1. Ограничете необходимия корен отгоре и отдолу до числа, които са кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди да приложим този алгоритъм на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Ограничение на корена

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни казват тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис към снимката]

Същото важи и за всяко друго число, от което можете да намерите квадратния корен. Например 3364:

[Надпис към снимката]

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително областта за търсене, преминете към втората стъпка.

Елиминиране на очевидно ненужни номера

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължим.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатите до две - отново без сложни изчисления! Достатъчно, за да знаете специално правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, просто погледнете последната цифра на квадрата и веднага ще разберем къде свършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични по отношение на петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. Това означава, че например коренът на 3364 трябва да завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис към снимката]

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но коренът се намира в диапазона от 50 до 60, в който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис към снимката]

това е! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава ще има само един кандидат за корените!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Това, което на квадрат дава оригиналното число, ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

това е! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата за квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не трябваше да умножавам числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корени

Теорията, разбира се, е добра. Но нека го проверим на практика.

[Надпис към снимката]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Всичко, което остава, е да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Страхотно! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

1369 → 9;
33; 37.

Квадратирайте го:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

2704 → 4;
52; 58.

Квадратирайте го:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговор: 52. Няма нужда да повдигаме на квадрат второто число.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• При всеки нормален изпит по математика, независимо дали е държавен изпит или единен държавен изпит, използването на калкулатори е забранено. И ако носите калкулатор в клас, лесно можете да бъдете изхвърлен от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са просто корени - те са два прости числаТе не могат да го сгънат. А като видят дроби, като цяло изпадат в истерия.

Учениците винаги питат: „Защо не мога да използвам калкулатор на изпита по математика? Как да извадя корен квадратен от число без калкулатор? Нека се опитаме да отговорим на този въпрос.

Как да извадя корен квадратен от число без помощта на калкулатор?

Действие корен квадратенобратно на действието на повдигане на квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Ако от положително числоизвадете корен квадратен и повдигнете на квадрат резултата, получаваме същото число.

На малки числа, които са идеални квадрати естествени числа, например 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 квадратни корена могат да се извлекат устно. Обикновено в училище учат таблица с квадрати на естествени числа до двадесет. Познавайки тази таблица, е лесно да извлечете квадратни корени от числата 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. От числа, по-големи от 400, можете да ги извлечете, като използвате метода за избор, като използвате някои съвети. Нека се опитаме да разгледаме този метод с пример.

Пример: Извадете корена на числото 676.

Забелязваме, че 20 2 = 400 и 30 2 = 900, което означава 20< √676 < 900.

Точните квадрати на естествените числа завършват на 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Числото 6 е дадено от 4 2 и 6 2.
Това означава, че ако коренът е взет от 676, тогава той е или 24, или 26.

Остава да проверим: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

отговор: √676 = 26 .

повече пример: √6889 .

Тъй като 80 2 = 6400 и 90 2 = 8100, тогава 80< √6889 < 90.
Числото 9 е дадено от 3 2 и 7 2, тогава √6889 е равно на 83 или 87.

Нека проверим: 83 2 = 6889.

отговор: √6889 = 83 .

Ако ви е трудно да решите с помощта на метода за подбор, можете да факторизирате радикалния израз.

например, намерете √893025.

Нека разложим на множители числото 893025, не забравяйте, че го направихте в шести клас.

Получаваме: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

повече пример: √20736. Нека разложим числото 20736 на множители:

Получаваме √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Разбира се, факторизирането изисква познаване на знаците за делимост и умения за факторизиране.

И накрая, има правило за извличане на квадратни корени. Нека се запознаем с това правило с примери.

Изчислете √279841.

За да извлечем корена на многоцифрено цяло число, ние го разделяме отдясно наляво на лица, съдържащи 2 цифри (най-левият край може да съдържа една цифра). Записваме го така: 27’98’41

За да получим първата цифра на корена (5), изваждаме корен квадратен от най-големия перфектен квадрат, който се съдържа в първото лице вляво (27).
След това квадратът на първата цифра на корена (25) се изважда от първото лице и следващото лице (98) се добавя към разликата (изважда се).
Отляво на полученото число 298 напишете двойната цифра на корена (10), разделете на него броя на всички десетки от предварително полученото число (29/2 ≈ 2), проверете частното (102 ∙ 2 = 204 трябва да бъде не повече от 298) и напишете (2) след първата цифра на корена.
След това полученото частно 204 се изважда от 298 и следващото ребро (41) се добавя към разликата (94).
Отляво на полученото число 9441 напишете двойното произведение на цифрите на корена (52 ∙2 = 104), разделете броя на всички десетки на числото 9441 (944/104 ≈ 9) на този продукт, проверете частното (1049 ∙9 = 9441) трябва да бъде 9441 и го запишете (9) след втората цифра на корена.

Получихме отговора √279841 = 529.

Извлечете по подобен начин корени от десетични дроби. Само коренното число трябва да бъде разделено на лица, така че запетаята да е между лицата.

Пример. Намерете стойността √0,00956484.

Само не забравяйте, че ако една десетична дроб има нечетен брой десетични знаци, квадратният корен не може да бъде извлечен от нея.

Така че сега видяхте три начина за извличане на корена. Изберете този, който ви подхожда най-добре и практикувайте. За да се научите да решавате проблеми, трябва да ги разрешите. И ако имате някакви въпроси,.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.

В предговора към първото си издание „В царството на изобретателността“ (1908) Е. И. Игнатиев пише: „... интелектуалната инициатива, бързината и „изобретателността“ не могат да бъдат „пробити“ или „вкарани“ в главата на никого. Резултатите са достоверни само тогава, когато въвеждането в областта на математическото познание е направено по лесен и приятен начин, с предмети и примери от обикновени и ежедневни ситуации, подбрани с подходящо остроумие и забавление.”

В предговора към изданието от 1911 г. „Ролята на паметта в математиката“ E.I. Игнатиев пише „... в математиката не трябва да се запомнят формулите, а процесът на мислене.

За да извлечете квадратния корен, има таблици с квадрати за двуцифрени числа; Таблица с квадрати понякога не е достатъчна; извличането на корена чрез факторизиране е трудоемка задача, която също не винаги води до желания резултат. Опитайте да извадите корен квадратен от 209764? Разлагането на прости множители дава произведението 2*2*52441. Чрез проба и грешка, селекция - това, разбира се, може да стане, ако сте сигурни, че това е цяло число. Методът, който искам да предложа, ви позволява да извадите корен квадратен във всеки случай.

Имало едно време в института (Пермския държавен педагогически институт) се запознахме с този метод, за който сега искам да говоря. Никога не съм се чудил дали този метод има доказателство, така че сега трябваше сам да изведа някои от доказателствата.

Основата на този метод е съставът на числото =.

=&, т.е. & 2 =596334.

1. Разделете числото (5963364) на двойки от дясно на ляво (5`96`33`64)

2. Извадете корен квадратен от първата група отляво (- число 2). Ето как получаваме първата цифра от &.

3. Намерете квадрата на първата цифра (2 2 =4).

4. Намерете разликата между първата група и квадрата на първата цифра (5-4=1).

5. Сваляме следващите две цифри (получаваме числото 196).

6. Удвоете първата цифра, която намерихме, и я напишете отляво зад чертата (2*2=4).

7. Сега трябва да намерим втората цифра на числото &: удвояване на първата цифра, която намерихме, става цифрата на десетките на числото, което, когато се умножи по броя на единиците, трябва да получите число, по-малко от 196 (това е числото 4, 44*4=176). 4 е втората цифра от &.

8. Намерете разликата (196-176=20).

9. Разрушаваме следващата група (получаваме числото 2033).

10. Удвоете числото 24, получаваме 48.

Има 11,48 десетици в едно число, когато се умножи по броя на единиците, трябва да получим число, по-малко от 2033 (484*4=1936). Цифрата единици, която намерихме (4), е третата цифра на числото &.

Дадох доказателства за следните случаи:

1. Извличане на корен квадратен от трицифрено число;

2. Изваждане на корен квадратен от четирицифрено число.

Приблизителни методи за извличане на квадратни корени (без използване на калкулатор).

1. Древните вавилонци са използвали следния метод, за да намерят приблизителната стойност на корен квадратен от тяхното число x. Те представиха числото x като сбор a 2 + b, където a 2 е точният квадрат на естественото число a (a 2 ? x), най-близо до числото x, и използваха формулата . (1)

Използвайки формула (1), извличаме квадратния корен, например, от числото 28:

Резултатът от извличането на корен от 28 с помощта на MK е 5.2915026.

Както можете да видите, вавилонският метод дава добро приближение до точната стойност на корена.

2. Исак Нютон разработи метод за извличане на квадратен корен, който датира от Херон от Александрия (около 100 г. сл. Хр.). Този метод (известен като метод на Нютон) е както следва.

Нека а 1- първото приближение на число (като 1 можете да вземете стойностите на корен квадратен от естествено число - точен квадрат, който не надвишава X) .

След това по-точно приближение а 2числа намира се по формулата .