Тази статия разкрива значението на перпендикулярността на два вектора върху равнина в тримерното пространство и намирането на координатите на вектор, перпендикулярен на един или цяла двойка вектори. Темата е приложима за задачи, включващи уравнения на прави и равнини.

Ще разгледаме необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора, ще решим метода за намиране на вектор, перпендикулярен на даден, и ще се докоснем до ситуации на намиране на вектор, който е перпендикулярен на два вектора.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора

Нека приложим правилото за перпендикулярните вектори в равнината и в тримерното пространство.

Определение 1

При условие, че ъгълът между два ненулеви вектора е равен на 90 ° (π 2 радиана), се нарича перпендикулярен.

Какво означава това и в какви ситуации е необходимо да знаете за тяхната перпендикулярност?

Установяването на перпендикулярност е възможно чрез чертежа. Когато начертавате вектор върху равнина от дадени точки, можете да измерите геометрично ъгъла между тях. Дори ако се установи перпендикулярността на векторите, тя няма да е съвсем точна. Най-често тези задачи не ви позволяват да направите това с помощта на транспортир, така че този метод е приложим само когато нищо друго не се знае за векторите.

Повечето случаи на доказване на перпендикулярността на два ненулеви вектора в равнина или в пространството се извършват с помощта необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора.

Теорема 1

Скаларното произведение на два ненулеви вектора a → и b → равно на нула за удовлетворяване на равенството a → , b → = 0 е достатъчно за тяхната перпендикулярност.

Доказателство 1

Нека дадените вектори a → и b → са перпендикулярни, тогава ще докажем равенството a ⇀ , b → = 0 .

От дефиницията на точково произведение на векторизнаем, че е равно произведението на дължините на дадени вектори и косинуса на ъгъла между тях. По условие a → и b → са перпендикулярни, което означава, че въз основа на определението ъгълът между тях е 90 °. Тогава имаме a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Втора част от доказателството

При условие, че a ⇀, b → = 0, докажете перпендикулярността на a → и b →.

Всъщност доказателството е обратното на предишното. Известно е, че a → и b → са различни от нула, което означава, че от равенството a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ намираме косинуса. Тогава получаваме cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Тъй като косинусът е нула, можем да заключим, че ъгълът a →, b → ^ на векторите a → и b → е равен на 90 °. По дефиниция това е необходимо и достатъчно свойство.

Условие за перпендикулярност на координатната равнина

Глава скаларно произведение в координатидемонстрира неравенството (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , валидно за вектори с координати a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y), в равнината и (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y за вектори a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) в пространството. Необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора в координатна равнинаима формата a x b x + a y b y = 0, за триизмерно пространство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Нека го приложим на практика и да разгледаме примери.

Пример 1

Проверете свойството перпендикулярност на два вектора a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Решение

За да разрешите тази задача, трябва да намерите скаларното произведение. Ако според условието то е равно на нула, то те са перпендикулярни.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условието е изпълнено, което означава, че дадените вектори са перпендикулярни на равнината.

отговор:да, дадените вектори a → и b → са перпендикулярни.

Пример 2

Дадени са координатни вектори i → , j → , k →. Проверете дали векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → могат да бъдат перпендикулярни.

Решение

За да запомните как се определят векторните координати, трябва да прочетете статията за векторни координати в правоъгълна координатна система.Така откриваме, че дадените вектори i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имат съответни координати (1, - 1, 0) и (1, 2, 2). Да заместим числови стойностии получаваме: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Изразът не е равен на нула, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, което означава, че векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не са перпендикулярни, тъй като условието не е изпълнено.

отговор:не, векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не са перпендикулярни.

Пример 3

Дадени вектори a → = (1, 0, - 2) и b → = (λ, 5, 1). Намерете стойността на λ, при която тези вектори са перпендикулярни.

Решение

Използваме условието за перпендикулярност на два вектора в пространството в квадратна форма, след което получаваме

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

отговор:векторите са перпендикулярни при стойност λ = 2.

Има случаи, когато въпросът за перпендикулярността е невъзможен дори при необходимо и достатъчно условие. Като се имат предвид известните данни за трите страни на триъгълник на два вектора, е възможно да се намери ъгъл между векторитеи го проверете.

Пример 4

Даден е триъгълник A B C със страни A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Проверете векторите A B → и A C → за перпендикулярност.

Решение

Ако векторите A B → и A C → са перпендикулярни, триъгълникът A B C се счита за правоъгълен. След това прилагаме Питагоровата теорема, където B C е хипотенузата на триъгълника. Равенството B C 2 = A B 2 + A C 2 трябва да е вярно. От това следва, че 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Това означава, че A B и A C са катети на триъгълника A B C, следователно A B → и A C → са перпендикулярни.

Важно е да се научите как да намирате координатите на вектор, перпендикулярен на даден. Това е възможно както в равнината, така и в пространството, при условие че векторите са перпендикулярни.

Намиране на вектор, перпендикулярен на даден в равнина.

Един ненулев вектор a → може да има безкраен брой перпендикулярни вектори в равнината. Нека изобразим това на координатна права.

Даден е ненулев вектор a → лежащ на правата a. Тогава дадено b →, разположено на произволна права, перпендикулярна на права a, става перпендикулярна на a →. Ако векторът i → е перпендикулярен на вектора j → или който и да е от векторите λ · j → с λ равно на всяко реално число, различно от нула, тогава намирането на координатите на вектора b → перпендикулярно на a → = (a x , a y ) се свежда до безкраен набор от решения. Но е необходимо да се намерят координатите на вектора, перпендикулярен на a → = (a x , a y) . За да направите това, е необходимо да запишете условието за перпендикулярност на векторите в следната форма: a x · b x + a y · b y = 0. Имаме b x и b y, които са желаните координати на перпендикулярния вектор. Когато a x ≠ 0, стойността на b y е различна от нула и b x може да се изчисли от неравенството a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. За a x = 0 и a y ≠ 0, присвояваме на b x всяка стойност, различна от нула, и намираме b y от израза b y = - a x · b x a y .

Пример 5

Даден е вектор с координати a → = (- 2 , 2) . Намерете вектор, перпендикулярен на това.

Решение

Нека означим желания вектор като b → (b x , b y) . Неговите координати могат да бъдат намерени от условието, че векторите a → и b → са перпендикулярни. Тогава получаваме: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Нека присвоим b y = 1 и заместим: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Следователно от формулата получаваме b x = - 2 - 2 = 1 2. Това означава, че векторът b → = (1 2 , 1) е вектор, перпендикулярен на a → .

отговор: b → = (1 2 , 1) .

Ако се повдигне въпросът за триизмерното пространство, проблемът се решава по същия принцип. За даден вектор a → = (a x, a y, a z) има безкраен брой перпендикулярни вектори. Ще фиксира това в триизмерна координатна равнина. Дадено е a → лежащо на правата a. Равнината, перпендикулярна на права a, се означава с α. В този случай всеки ненулев вектор b → от равнината α е перпендикулярен на a →.

Необходимо е да се намерят координатите на b → перпендикулярно на ненулевия вектор a → = (a x , a y , a z) .

Нека b → е дадено с координати b x , b y и b z . За да ги намерите, е необходимо да приложите дефиницията на условието за перпендикулярност на два вектора. Равенството a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 трябва да бъде изпълнено. От условието a → е ненулева, което означава, че една от координатите има стойност, различна от нула. Да приемем, че a x ≠ 0, (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Следователно имаме право да разделим цялото неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 на тази координата, получаваме израза b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Присвояваме произволна стойност на координатите b y и b x, изчисляваме стойността на b x въз основа на формулата b x = - a y · b y + a z · b z a x. Желаният перпендикулярен вектор ще има стойност a → = (a x, a y, a z).

Нека да разгледаме доказателството с пример.

Пример 6

Даден е вектор с координати a → = (1, 2, 3) . Намерете вектор, перпендикулярен на дадения.

Решение

Нека означим желания вектор с b → = (b x , b y , b z) . Въз основа на условието, че векторите са перпендикулярни, скаларното произведение трябва да е равно на нула.

a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Ако стойността е b y = 1, b z = 1, тогава b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. От това следва, че координатите на вектора b → (- 5 , 1 , 1) . Вектор b → е един от векторите, перпендикулярни на дадения.

отговор: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Намиране на координатите на вектор, перпендикулярен на два дадени вектора

Трябва да намерим координатите на вектора в триизмерното пространство. Той е перпендикулярен на неколинеарните вектори a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . При условие, че векторите a → и b → са колинеарни, ще бъде достатъчно да се намери вектор, перпендикулярен на a → или b → в задачата.

При решаването се използва концепцията за векторно произведение на вектори.

Векторно произведение на вектори a → и b → е вектор, който е едновременно перпендикулярен на a → и b →. За решаването на този проблем се използва векторното произведение a → × b →. За триизмерното пространство има формата a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Нека разгледаме векторното произведение по-подробно, използвайки примерна задача.

Пример 7

Дадени са векторите b → = (0, 2, 3) и a → = (2, 1, 0). Намерете едновременно координатите на всеки вектор, перпендикулярен на данните.

Решение

За да решите, трябва да намерите векторното произведение на векторите. (Моля, вижте параграф изчисляване на детерминанта на матрицаза намиране на вектора). Получаваме:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

отговор: (3 , - 6 , 4) - координати на вектор, който е едновременно перпендикулярен на дадените a → и b → .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Инструкции

Ако оригиналният вектор е изобразен на чертежа в правоъгълна двумерна координатна система и там трябва да се изгради перпендикулярна, изхождайте от определението за перпендикулярност на векторите в равнина. Той гласи, че ъгълът между такава двойка насочени сегменти трябва да бъде равен на 90 °. Могат да бъдат конструирани безкраен брой такива вектори. Затова нарисувайте произволен удобно местоположениеравнината е перпендикулярна на оригиналния вектор, очертайте отсечка върху нея, равна на дължината на дадена подредена двойка точки и задайте един от нейните краища като начало на перпендикулярния вектор. Направете това с помощта на транспортир и линийка.

Ако оригиналният вектор е даден от двумерни координати ā = (X₁;Y₁), приемете, че скаларното произведение на двойка перпендикулярни вектори трябва да е равно на нула. Това означава, че трябва да изберете за желания вектор ō = (X₂,Y₂) такива координати, че равенството (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 да се изпълни по следния начин: изберете произволно ненулева стойност за координатата X₂ и изчислете координатата Y₂, като използвате формулата Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например за вектора ā = (15;5) ще има вектор ō, с абциса, равно на едно, и ордината, равна на -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).

За тримерна и всяка друга ортогонална координатна система е вярно същото необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на векторите - тяхното скаларно произведение трябва да е равно на нула. Следователно, ако началният насочен сегмент е даден с координати ā = (X₁,Y₁,Z₁), изберете за подредената двойка точки ō = (X₂,Y₂,Z₂), перпендикулярни на него, такива координати, които отговарят на условието (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Най-лесният начин е да присвоите единични стойности на X₂ и Y₂ и да изчислите Z₂ от опростеното равенство Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X1+Y1)/ Z1. Например, за вектора ā = (3,5,4) това ще приеме следната форма: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. След това вземете абсцисата и ординатата на перпендикулярен вектор като единица и в този случай ще бъде равно на -(3+5)/4 = -2.

източници:

• намерете вектора, ако е перпендикулярен

Те се наричат ​​перпендикулярни вектор, ъгълът между които е 90º. Перпендикулярни векториконструирани с помощта на инструменти за рисуване. Ако техните координати са известни, тогава можете да проверите или намерите перпендикулярността на векторите аналитични методи.

Ще ви трябва

• - транспортир;
• - компас;
• - владетел.

Инструкции

Построете вектор, перпендикулярен на дадения. За да направите това, в точката, която е началото на вектора, възстановете перпендикуляр към него. Това може да стане с помощта на транспортир, като зададете ъгъл от 90º. Ако нямате транспортир, използвайте компас, за да го направите.

Задайте го на началната точка на вектора. Начертайте окръжност с произволен радиус. След това конструирайте две с центрове в точките, където първата окръжност пресича линията, върху която лежи векторът. Радиусите на тези кръгове трябва да са равни един на друг и по-големи от първия построен кръг. В пресечните точки на окръжностите изградете права линия, която ще бъде перпендикулярна на оригиналния вектор в началото, и начертайте върху нея вектор, перпендикулярен на този.

Условие векторите да са перпендикулярни

Векторите са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула.

Дадени са два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Тези вектори ще бъдат перпендикулярни, ако изразът xaxb + yayb = 0.

Векторите са успоредни, ако тяхното кръстосано произведение е нула

Уравнение на права на равнина. Основни задачи по права в равнина.

Всяка права линия на равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред Ax + Bi + C = 0, а константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A2 + B2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнениедиректен. В зависимост от стойностите константа A, Bи C са възможни следните специални случаи: - C = 0, A  0, B  0 – правата минава през началото - A = 0, B  0, C  0 ( По

C = 0) - права линия, успоредна на оста Oy - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - права линия, успоредна на оста Oy - B = C = 0, A  0 - правата съвпада с оста Oy - A = C = 0, B  0 – правата съвпада с оста Ox. Уравнението на правата линия може да бъде представено в в различни формив зависимост от дадени начални условия.

Ако поне един от коефициентите A, B, C на ниво Ax+By+C=0 е равен на 0, ниво
наречен непълна. По формата на уравнението на права линия може да се прецени нейното положение върху
плоскост OXU. Възможни случаи:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) удовлетворява това уравнение означава права
преминава през произхода
2 A=0 L: Ву+С=0 - нормален v-r n=(0,B) е перпендикулярно на оста OX от тук
следва, че правата е успоредна на оста OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - номиналната стойност n=(A,0) е перпендикулярна на оста OY от тук
следва, че правата линия е успоредна на оста на операционния усилвател
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - не минава през началото и пресича
двете оси.

Уравнение права линия　в самолета, преминавайки през две дадени точкиИ :

Ъгъл между равнините.

Изчисляване на детерминанти

Изчисляването на детерминантите се основава на техните известни свойства, които се прилагат за детерминанти от всички разряди. Това са имотите:

1. Ако пренаредите два реда (или две колони) на детерминантата, детерминантата ще промени знака.

2. Ако съответните елементи на две колони (или два реда) на детерминантата са равни или пропорционални, то детерминантата е равна на нула.

3. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако размените редовете и колоните, като запазите реда им.

4. Ако всички елементи на ред (или колона) имат общ фактор, тогава той може да бъде изваден от детерминантния знак.

5. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако съответните елементи на друг ред (или колона) се добавят към елементите на един ред (или колона), умножени по същото число.

Матрицата и действията над тях

Матрица- математически обект, написан под формата на правоъгълна таблица с числа (или елементи от пръстен) и позволяващ алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение и др.) между него и други подобни обекти. Обикновено матриците се представят като двумерни (правоъгълни) таблици. Понякога се разглеждат многомерни матрици или неправоъгълни матрици.

Обикновено матрицата се обозначава с главна буква от латинската азбука и се подчертава с кръгли скоби „(…)“ (маркирани също с квадратни скоби „[…]“ или двойни прави линии „||…||“).

Числата, съставляващи матрицата (елементите на матрицата), често се обозначават със същата буква като самата матрица, но с малки букви (например a11 е елемент от матрица A).

Всеки матричен елемент има 2 индекса (aij) - първият “i” означава номера на реда, в който се намира елементът, а вторият “j” означава номера на колоната. Те казват „размерна матрица“, което означава, че матрицата има m реда и n колони. Винаги в една и съща матрица

Операции с матрици

Нека aij са елементите на матрица A и bij са елементите на матрица B.

Линейни операции:

Умножаването на матрица A по число λ (символ: λA) се състои в конструиране на матрица B, чиито елементи се получават чрез умножаване на всеки елемент от матрицата A по това число, тоест всеки елемент от матрицата B е равен на

Събирането на матрици A + B е операцията за намиране на матрица C, всички елементи на която са равни на сумата по двойки на всички съответни елементи на матриците A и B, т.е. всеки елемент от матрицата C е равен на

Изваждането на матрици A − B се дефинира подобно на събирането; това е операцията за намиране на матрица C, чиито елементи

Събирането и изваждането са разрешени само за матрици с еднакъв размер.

Има нулева матрица Θ, така че добавянето й към друга матрица A не променя A, т.е.

Всички елементи на нулевата матрица са равни на нула.

Нелинейни операции:

Матрично умножение (обозначение: AB, по-рядко със знак за умножение) е операция за изчисляване на матрица C, чиито елементи са равни на сумата от продуктите на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на втория фактор .cij = ∑ aikbkj k

Първият фактор трябва да има същия брой колони като броя на редовете във втория. Ако матрица A има размерност B - , тогава размерността на техния продукт AB = C е. Матричното умножение не е комутативно.

Матричното умножение е асоциативно. Само квадратни матрици могат да бъдат повдигнати на степен.

Транспонирането на матрицата (символ: AT) е операция, при която матрицата се отразява спрямо главния диагонал, т.е.

Ако A е размерна матрица, тогава AT е размерна матрица

Производна сложна функция

Комплексната функция има вида: F(x) = f(g(x)), т.е. е функция на функция. Например y = sin2x, y = ln(x2+2x) и т.н.

Ако в точката x функцията g(x) има производната g"(x), а в точката u = g(x) функцията f(u) има производната f"(u), то производната на комплексна функция f(g(x)) в точка x съществува и е равна на f"(u)g"(x).

Неявна производна на функция

В много задачи функцията y(x) е зададена имплицитно. Например за функциите по-долу

невъзможно е да се получи явно зависимостта y(x).

Алгоритъмът за изчисляване на производната y"(x) от неявна функция е както следва:

Първо трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на x, като приемете, че y е диференцируема функция на x и използвате правилото за изчисляване на производната на сложна функция;

Решете полученото уравнение за производната y"(x).

Нека да разгледаме няколко примера за онагледяване.

Диференцирайте функцията y(x), дадена от уравнението.

Нека разграничим двете страни на уравнението по отношение на променливата x:

какво води до резултата

Правилото на Лапитал

Правилото на L'Hopital. Нека функцията f(x) и g(x) има в околната среда. t-ki x0 pr-nye f' и g', изключвайки възможността за това много t-tu x0. Нека lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, така че f(x)/g(x) за x®x0 дава 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), когато съвпада с границата на отношението на функцията lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Критерий за монотонност на функция, имаща производна на интервала) Нека функцията непрекъснато включено

(a,b) и има производна f"(x) във всяка точка. Тогава

1)f нараства с (a,b) тогава и само ако

2) намалява с (a,b) тогава и само ако

2. (Достатъчно условие за строга монотонност на функция, имаща производна на интервала) Нека функцията е непрекъснат на (a,b) и има производна f"(x) във всяка точка. Тогава

1) ако тогава f стриктно нараства върху (a,b);

2) ако тогава f стриктно намалява върху (a,b).

Обратното, най-общо казано, не е вярно. Производната на строго монотонна функция може да изчезне. Въпреки това, наборът от точки, където производната не е нула, трябва да бъде плътен в интервала (a,b). По-точно го прави.

3. (Критерий за строга монотонност на функция с производна на интервала) Нека и производната f"(x) е дефинирана навсякъде в интервала. Тогава f стриктно нараства в интервала (a,b), ако и само ако са изпълнени следните две условия:

Точково произведение на вектори. Ъгъл между векторите. Условието за успоредност или перпендикулярност на векторите.

Скаларното произведение на векторите е произведението на техните дължини и косинуса на ъгъла между тях:

Следните твърдения се доказват по абсолютно същия начин, както в планиметрията:

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула тогава и само ако векторите са перпендикулярни.

Скаларният квадрат на вектор, тоест скаларното произведение на себе си и себе си, е равен на квадрата на неговата дължина.

Скаларното произведение на два вектора и дадено от техните координати може да се изчисли с помощта на формулата

Векторите са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула. Пример. Дадени са два вектора и . Тези вектори ще бъдат перпендикулярни, ако изразът x1x2 + y1y2 = 0. Ъгълът между ненулевите вектори е ъгълът между прави линии, за които тези вектори са водачи. По дефиниция ъгълът между всеки вектор и нулевия вектор се счита за равен на нула. Ако ъгълът между векторите е 90°, тогава такива вектори се наричат ​​перпендикулярни. Ще обозначим ъгъла между векторите по следния начин: