Показателни уравнения и неравенства са тези, при които неизвестното се съдържа в показателя.
Решаването на експоненциални уравнения често се свежда до решаването на уравнението a x = a b, където a > 0, a ≠ 1, x е неизвестно. Това уравнение има един корен x = b, тъй като следната теорема е вярна:
Теорема. Ако a > 0, a ≠ 1 и a x 1 = a x 2, тогава x 1 = x 2.
Нека обосновем разгледаното твърдение.
Да приемем, че равенството x 1 = x 2 не е в сила, т.е. х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, тогава експоненциалната функция y = a x нараства и следователно неравенството a x 1 трябва да бъде изпълнено< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. И в двата случая получихме противоречие с условието a x 1 = a x 2.
Нека разгледаме няколко проблема.
Решете уравнението 4 ∙ 2 x = 1.
Решение.
Нека запишем уравнението във вида 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, от което получаваме x + 2 = 0, т.е. х = -2.
отговор. х = -2.
Решете уравнение 2 3x ∙ 3 x = 576.
Решение.
Тъй като 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, уравнението може да се запише като 8 x ∙ 3 x = 24 2 или като 24 x = 24 2.
От тук получаваме x = 2.
отговор. х = 2.
Решете уравнението 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
Решение.
Изваждайки общия множител 3 x - 2 извън скобите от лявата страна, получаваме 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
откъдето 3 x - 2 = 1, т.е. x – 2 = 0, x = 2.
отговор. х = 2.
Решете уравнението 3 x = 7 x.
Решение.
Тъй като 7 x ≠ 0, уравнението може да бъде записано като 3 x /7 x = 1, откъдето (3/7) x = 1, x = 0.
отговор. х = 0.
Решете уравнението 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
Решение.
Чрез заместване на 3 x = a дадено уравнениесе свежда до квадратното уравнение a 2 – 4a – 45 = 0.
Решавайки това уравнение, намираме неговите корени: a 1 = 9 и 2 = -5, откъдето 3 x = 9, 3 x = -5.
Уравнението 3 x = 9 има корен 2, а уравнението 3 x = -5 няма корени, тъй като експоненциалната функция не може да приема отрицателни стойности.
отговор. х = 2.
Решение експоненциални неравенствачесто се свежда до решаване на неравенствата a x > a b или a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Нека да разгледаме някои проблеми.
Решете неравенство 3 x< 81.
Решение.
Нека запишем неравенството във формата 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, тогава функцията y = 3 x е нарастваща.
Следователно за х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Така при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
отговор. X< 4.
Решете неравенството 16 x +4 x – 2 > 0.
Решение.
Нека означим 4 x = t, тогава получаваме квадратно неравенство t2 + t – 2 > 0.
Това неравенство е в сила за t< -2 и при t > 1.
Тъй като t = 4 x, получаваме две неравенства 4 x< -2, 4 х > 1.
Първото неравенство няма решения, тъй като 4 x > 0 за всички x € R.
Второто неравенство записваме във вида 4 x > 4 0, откъдето x > 0.
отговор. x > 0.
Решете графично уравнението (1/3) x = x – 2/3.
Решение.
1) Да построим графики на функциите y = (1/3) x и y = x – 2/3.
2) Въз основа на нашата фигура можем да заключим, че графиките на разглежданите функции се пресичат в точката с абсцисата x ≈ 1. Проверката доказва, че
x = 1 е коренът на това уравнение:
(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.
С други думи, намерихме един от корените на уравнението. 
3) Да намерим други корени или да докажем, че няма такива. Функцията (1/3) x е намаляваща, а функцията y = x – 2/3 е нарастваща. Следователно при x > 1 стойностите на първата функция са по-малки от 1/3, а на втората – повече от 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 и х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
отговор. х = 1.
Обърнете внимание, че от решението на тази задача по-специално следва, че неравенството (1/3) x > x – 2/3 е изпълнено за x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
и x = b е най-простият експоненциално уравнение. В нея апо-голямо от нула и Ане е равно на едно.
Решаване на експоненциални уравнения
От свойствата на експоненциалната функция знаем, че нейният диапазон от стойности е ограничен до положителни реални числа. Тогава, ако b = 0, уравнението няма решения. Същата ситуация възниква в уравнението, където b
Сега нека приемем, че b>0. Ако в експоненциалната функция базата ае по-голямо от единица, тогава функцията ще нараства в цялата област на дефиниция. Ако в експоненциалната функция за основата Ае изпълнено следното условие 0 Въз основа на това и прилагайки теоремата за корена, откриваме, че уравнението a x = b има един единствен корен за b>0 и положителен ане равно на едно. За да го намерите, трябва да представите b като b = a c. Разгледайте следния пример: решете уравнението 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Нека си представим 25 като 5 2, получаваме: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Или какво е еквивалентно: x 2 - 2*x - 1 = 2. Разрешаване на това, което имаме квадратно уравнениенякое от известни методи. Получаваме два корена x = 3 и x = -1. Отговор: 3;-1. Нека решим уравнението 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Нека направим замяната: t=2 x и ще получим следното квадратно уравнение: t 2 - 5*t + 4 = 0. Сега решаваме уравненията 2 x = 1 и 2 x = 4. Отговор: 0;2. Решението на най-простите експоненциални неравенства също се основава на свойствата на нарастващите и намаляващите функции. Ако в една експоненциална функция основата a е по-голяма от единица, тогава функцията ще нараства в цялата област на дефиниция. Ако в експоненциалната функция за основата Ае изпълнено следното условие 0 Разгледайте пример: решете неравенство (0,5) (7 - 3*x)< 4. Обърнете внимание, че 4 = (0,5) 2 . Тогава неравенството ще приеме формата (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Получаваме: 7 - 3*x>-2. Следователно: x<3. Отговор: x<3. Ако основата в неравенството беше по-голяма от едно, тогава, когато се отървете от основата, нямаше да има нужда да променяте знака на неравенството. В този урок ще разгледаме различни експоненциални неравенства и ще научим как да ги решаваме въз основа на техниката за решаване на най-простите експоненциални неравенства Нека си припомним определението и основните свойства на експоненциалната функция. Решението на всички експоненциални уравнения и неравенства се основава на тези свойства. Експоненциална функцияе функция от формата , където основата е степента и Тук x е независимата променлива, аргумент; y е зависимата променлива, функция. ориз. 1. Графика на експоненциална функция Графиката показва нарастващи и намаляващи експоненти, илюстрирайки експоненциалната функция с основа, съответно по-голяма от едно и по-малка от единица, но по-голяма от нула. И двете криви минават през точката (0;1) Свойства на експоненциалната функция: Обхват: ; Диапазон от стойности: ; Функцията е монотонна, нараства с, намалява с. Монотонната функция приема всяка от своите стойности като дадена стойност на един аргумент. Когато , когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията нараства от нула включително до плюс безкрайност, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно нарастваща функция (). Напротив, когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула включително, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно намаляваща функция (). Въз основа на горното, ние представяме метод за решаване на прости експоненциални неравенства: Техника за решаване на неравенства: Изравняване на основите на степени; Сравнете индикаторите, като запазите или промените знака за неравенство на противоположния. Решението на сложните експоненциални неравенства обикновено се състои в свеждането им до най-простите експоненциални неравенства. Основата на степента е по-голяма от единица, което означава, че знакът за неравенство се запазва: Нека трансформираме дясната страна според свойствата на степента: Основата на степента е по-малка от единица, знакът за неравенство трябва да бъде обърнат: За да решим квадратното неравенство, решаваме съответното квадратно уравнение: Използвайки теоремата на Виета намираме корените: Клоните на параболата са насочени нагоре. Така имаме решение на неравенството: Лесно е да се досетите, че дясната страна може да бъде представена като степен с показател нула: Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство не се променя, получаваме: Нека си припомним техниката за решаване на такива неравенства. Помислете за дробно-рационалната функция: Намираме областта на дефиницията: Намиране на корените на функцията: Функцията има един корен, Избираме интервали с постоянен знак и определяме знаците на функцията на всеки интервал: ориз. 2. Интервали на постоянство на знака Така получихме отговора. отговор: Нека разгледаме неравенства с еднакви показатели, но различни основи. Едно от свойствата на експоненциалната функция е, че тя приема строго положителни стойности за всяка стойност на аргумента, което означава, че може да бъде разделена на експоненциална функция. Нека разделим даденото неравенство на дясната му страна: Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство се запазва. Нека илюстрираме решението: Фигура 6.3 показва графики на функции и . Очевидно, когато аргументът е по-голям от нула, графиката на функцията е по-висока, тази функция е по-голяма. Когато стойностите на аргумента са отрицателни, функцията отива по-ниско, тя е по-малка. Ако аргументът е равен, функциите са равни, което означава, че тази точка също е решение на даденото неравенство. ориз. 3. Илюстрация за пример 4 Нека трансформираме даденото неравенство според свойствата на степента: Ето някои подобни термини: Нека разделим двете части на: Сега продължаваме да решаваме подобно на пример 4, разделете двете части на: Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство остава: Пример 6 – Решете неравенството графично: Нека да разгледаме функциите от лявата и дясната страна и да изградим графика за всяка от тях. Функцията е експоненциална и нараства в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента. Функцията е линейна и намалява в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента. Ако тези функции се пресичат, тоест системата има решение, тогава такова решение е уникално и може лесно да се познае. За да направим това, ние итерираме цели числа () Лесно е да се види, че коренът на тази система е: Така графиките на функциите се пресичат в точка с аргумент равен на единица. Сега трябва да получим отговор. Значението на даденото неравенство е, че показателят трябва да е по-голям или равен на линейната функция, тоест да е по-висок или да съвпада с нея. Отговорът е очевиден: (Фигура 6.4) ориз. 4. Илюстрация за пример 6 И така, разгледахме решаването на различни стандартни експоненциални неравенства. След това преминаваме към разглеждане на по-сложни експоненциални неравенства. Референции Мордкович А. Г. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Мнемозина. Muravin G. K., Muravin O. V. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Дропла. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин П. и др. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Просвещение. математика md. Математика-повторение. com. Diffur. кемсу. ru. домашна работа 1. Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин) 1990 г., № 472, 473; 2. Решете неравенството: 3. Решете неравенство.
Тогава е очевидно, че сще бъде решение на уравнението a x = a c .
Ние решаваме това уравнение, като използваме някой от известните методи. Получаваме корените t1 = 1 t2 = 4Решаване на експоненциални неравенства
1. Определение и свойства на експоненциална функция
2. Най-прости експоненциални неравенства, метод на решение, пример
3. Решаване на стандартни експоненциални неравенства
4. Графично решаване на показателни неравенства
