Входно ниво

Аритметична прогресия. Подробна теорияс примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Тази числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е изучавана от древните гърци.

Това е редица от числа, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика аритметична прогресияи е обозначен.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
в)
г)

Разбра ли? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме числото на прогресията към предишната стойност, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането би ни отнело повече от час и не е факт, че няма да сгрешим при събирането на числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, при който не е необходимо да се добавя разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Разгледайте по-отблизо нарисуваната картинка... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - нека я въведем общ изгледи получаваме:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Увеличава се- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека проверим това на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какво ще бъде числото от тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула, за да я изчислим:

От тогава:

Така сме убедени, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се да намерите сами члена th и th на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - ще изведем свойството на аритметичната прогресия.
Да кажем, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казвате вие ​​и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно вярно. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има възможност да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете дали е възможно да се реши този проблем в една стъпка с помощта на която и да е формула? Разбира се, да, и това е, което ще се опитаме да изведем сега.

Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, формулата за намирането му е известна - това е същата формула, която изведехме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Оказва се, че сборът от предишния и последващия член на прогресията е двойната стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да намерите стойността на член на прогресия с известни предишни и последователни стойности, трябва да ги съберете и разделите на.

Точно така, имаме едно и също число. Да осигурим материала. Изчислете сами стойността на прогресията, не е никак трудно.

браво! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата е била лесно изведена от един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, възложи следната задача в клас: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите и вие.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сбора на тези членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако задачата изисква намиране на сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?

Нека изобразим напредъка, който ни е даден. Разгледайте по-отблизо маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитвали ли сте го? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

А сега ми кажете колко такива двойки има общо в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни двойки са равни, получаваме, че общата сума е равна на:
.
Така формулата за сбора на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените формулата на тия член във формулата за сумата.
Какво получи?

браво! Сега да се върнем към задачата, зададена на Карл Гаус: изчислете сами на какво е равен сборът от числата, започващи от -тото, и сборът от числата, започващи от -тото.

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумните хора са използвали напълно свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египети най-мащабният строителен проект от онова време - изграждането на пирамида... На снимката е показана едната й страна.

Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако основата е блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, докато движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така: .
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (изчислете броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Разбра ли? Браво, усвоихте сбора от n-тите членове на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
2. Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слойсъдържа един дневник по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В този случай
   (седмици = дни).

   отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметична прогресия.
   Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Нека заместим наличните данни във формулата:

   отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в е равна.

3. Нека си спомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
   Нека заместим данните във формулата:

   отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

1. - числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
2. Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
4. Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека да седнем и да започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете всякакви числа и те могат да бъдат колкото искате. Но винаги можем да кажем кой е първи, кой втори и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число, при това уникално. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Рекурентна наричаме формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки тази формула, ще трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. След това:

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. каква е разликата Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сумата от първото и последна датае равен, сборът на втория и предпоследния е еднакъв, сборът на третия и 3-тия от края е същият и т.н. Колко са общо тези двойки? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. така че

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо число се получава чрез добавяне към предходното число. Така числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно:.

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако пробяга km m през първия ден?
2. Велосипедистът изминава повече километри всеки ден от предишния ден. Първия ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
3. Цената на хладилника в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   отговор:
2. Тук е дадено: , трябва да се намери.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
   Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
   (км).
   отговор:

3. Дадено: . Намерете: .
   Не може да бъде по-просто:
   (търкайте).
   отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресия, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства– прогресия. В последния случай всеки следващ елемент(член) на последователността може да се изчисли с помощта на предходната.

Аритметична прогресия - последователност числови стойности, в която съседните му членове се различават един от друг с еднакъв номер (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) – a(j-1).

Акцент:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогресия на разликата и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разлика в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите j елемента, използвайте подходящата формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

При изучаване на алгебра в средно училище(9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрична и аритметична. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на задачи.

Аритметиката или е набор от подредени рационални числа, всеки член от които се различава от предишния с някаква постоянна стойност. Тази величина се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да дадем пример. Следната последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Нека сега представим основните формули, които ще са необходими за решаване на задачи с помощта на аритметична прогресия. Нека означим със символа a n n-ти членпоследователности, където n е цяло число. Ние обозначаваме разликата латиница d. Тогава са валидни следните изрази:

1. За определяне на стойността на n-тия член е подходяща следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решения в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от разглеждания тип се основават на тяхното използване. Трябва също да запомните, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: намиране на неизвестен член

Нека дадем прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за нейното решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., трябва да намерите пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

1. Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По същия начин можете да вземете всеки двама други членове, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d = a n - a n-1, тогава d = a 5 - a 4, от което получаваме: a 5 = a 4 + d. Да заместим известни стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения доведоха до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример прогресивната разлика d е отрицателна стойност. Такива последователности се наричат ​​намаляващи, тъй като всеки следващ член е по-малък от предишния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним малко задачата, дайте пример как да намерите разликата на аритметична прогресия.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример №3: съставяне на прогресия

Нека го усложним допълнително по-силно състояниезадачи. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дадени са две числа, например - 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия следния тип: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии е възможно да се реши този проблем, тоест да се добавят всички числа последователно, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Проблемът обаче може да бъде решен психически, ако обърнете внимание на факта, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че тази задача се нарича „Гаусова“, защото в началото на 18 век известният германец, все още само на 10 години, успя да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в примера за аритметична прогресия с решение № 6, може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разделете общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат нарастваща.

Въпреки това, \(d\) също може да бъде отрицателно число. например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотация за аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметична прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в реда.

Например аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи с аритметична прогресия

По принцип информацията, представена по-горе, вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

	Дадени са ни първите елементи на редицата и знаем, че тя е аритметична прогресия. Тоест, всеки елемент се различава от съседния със същото число. Нека разберем кой, като извадим предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до (първия отрицателен) елемент, от който се нуждаем.
	Готови. Можете да напишете отговор.

отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(…5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).
Решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два познати съседни елемента: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега можем лесно да намерим това, което търсим: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готови. Можете да напишете отговор.

отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Трябва да намерим сумата от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения; даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите една по една, използвайки това, което ни е дадено: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Нужната сума е намерена.

отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното нещо - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното ( разлика в прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се вземе решение „челно“. Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Трябва ли да добавим четири \(385\) пъти? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Ще се уморите да броите...

Следователно в такива случаи те не решават нещата „директно“, а използват специални формули, извлечени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата от \(n\) първи членове.

Формула на \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) – член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим дори тристотния или милионния елемент, знаейки само първия и разликата на прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

отговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) – последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сбора на първите двадесет и пет члена, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава от формулата на n-тия член в зависимост от неговия номер (за повече подробности вижте). Нека изчислим първия елемент, като заместим \(n\) с едно.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Сега нека намерим двадесет и петия член, като заместим двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Е, сега можем лесно да изчислим необходимата сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума от \(n\) първи елементи;
\(a_1\) – първият сумиран член;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) – общ брой елементи.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които не само трябва да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме същото нещо: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Сега бих искал да заместя \(d\) във формулата за сумата... и тук се появява малък нюанс - не знаем \(n\). С други думи, ние не знаем колко термина ще трябва да се добавят. Как да разберем? Нека помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато достигнем първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете броя на този елемент. как? Нека запишем формулата за изчисляване на произволен елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Трябва \(a_n\) да стане по-голямо от нула. Нека да разберем при какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Нека изчислим...
\(n>65 333…\)		...и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно последният отрицателен има \(n=65\). За всеки случай нека проверим това.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Така че трябва да добавим първите \(65\) елемента.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В тази задача също трябва да намерите сбора на елементите, но започвайки не от първия, а от \(26\)-ия. За такъв случай нямаме формула. Как да решим? Лесно е - за да получите сбора от \(26\)-то до \(42\)-то, първо трябва да намерите сбора от \(1\)-то до \(42\)-то и след това да извадите от него сумата от първо до \(25\)-то (вижте снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четирите към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-y елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\) елемента.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

отговор: \(S=1683\).

За аритметичната прогресия има още няколко формули, които не разгледахме в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Ако за всяко естествено число п съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n наречен n-ти членпоследователности , и естествено число п — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 наречен последващи (спрямо a n ), А a n — предишен (спрямо a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2п- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bп = (-1)п +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат окончателен И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

окончателен.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича нарастваща , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2п, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /п, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако има такава естествено число п условието е изпълнено:

a n +1 = a n + d,

Къде d - определено число.

По този начин разликата между следващите и предишните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Номер d наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

например,

Ако а 1 = 3, d = 4 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + d = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + d= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + d= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата d нея п

a n = а 1 + (п- 1)d.

например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, d = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (п- 2)г,

a n= а 1 + (п- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

например,

a n = 2п- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2п- 7,

n-1 = 2(п- 1) - 7 = 2п- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2п- 5.

следователно

a n+1 + a n-1	=	2п- 5 + 2п- 9	= 2п- 7 = a n,
2		2

◄

Забележете това п Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (п- к)d.

например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4d,

а 5 = а 2 + 3d,

а 5 = а 3 + 2d,

а 5 = а 4 + d. ◄

a n = а н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к +a n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи п членове на аритметична прогресия е равен на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, d, пИС п свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. В този случай:

• Ако d > 0 , след това се увеличава;
• Ако d < 0 , тогава намалява;
• Ако d = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число п условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Къде р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея п Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 п , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 п,

b n -1 = -3 2 п -1 ,

b n +1 = -3 2 п +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 п) 2 = (-3 2 п -1 ) · (-3 · 2 п +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележете това п Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ п= к+ л.

например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи п членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И кога р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - к +1	.
	1 - р

например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, пИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия п членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) п / 2 .

например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , т.е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

С такъв знаменател последователността е променлива. например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено п членове на прогресия с неограничено увеличение на броя п . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - р

например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . d , Това

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Това

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник aр .

например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄