За да решите различни задачи от курсовете по математика и физика, трябва да разделите дроби. Това е много лесно да се направи, ако знаете определени правила за извършване на тази математическа операция.
Преди да преминем към формулирането на правилото за деление на дроби, нека си припомним някои математически термини:
- Горната част на дробта се нарича числител, а долната част се нарича знаменател.
- При деление числата се извикват по следния начин: дивидент: делител = частно
Как се делят дроби: прости дроби
За да разделите две прости дроби, умножете дивидента по реципрочната стойност на делителя. Тази дроб се нарича още обърната, защото се получава чрез размяна на числителя и знаменателя. Например:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Как се делят дроби: смесени дроби
Ако трябва да разделим смесени дроби, тогава всичко тук също е доста просто и ясно. Първо превеждаме смесена фракцияв правилна неправилна дроб. За да направите това, умножете знаменателя на такава дроб с цяло число и добавете числителя към получения продукт. В резултат на това получихме нов числител на смесената дроб, но знаменателят й ще остане непроменен. Освен това разделянето на дроби ще се извърши точно по същия начин като разделянето на прости дроби. Например:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Как да разделим дроб на число
За да се раздели проста дроб на число, последното трябва да се запише като дроб (неправилна). Това е много лесно да се направи: на мястото на числителя се записва това число, а знаменателят на такава дроб равно на едно. Извършва се допълнително разделяне по обичайния начин. Нека да разгледаме това с пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Как да разделим десетични знаци
Често възрастен изпитва трудности при разделянето на цяло число или десетична дроб на десетична дроб без помощта на калкулатор.
Така че да направим разделянето десетични знаци, просто трябва да задраскате запетаята в делителя и да спрете да му обръщате внимание. В делителя запетаята трябва да се премести надясно точно на толкова места, колкото е била в дробната част на делителя, като при необходимост се добавят нули. И след това извършват обичайното деление на цяло число. За да стане това по-ясно, разгледайте следния пример.
Умножение и деление на дроби.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). това е:
Например:
Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...
За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:
Например:
Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:
В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:
Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:
Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:
В първия случай (израз вляво):
Във втория (израз вдясно):
Усещате ли разликата? 4 и 1/9!
Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:
след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!
И още една много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:
Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.
Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Моля, обърнете внимание практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!
Практически съвети:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не е общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.
2. В примерите със различни видоведроби - отидете на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички фракции, докато спрат.
4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме деление през две точки (следваме реда на разделяне!).
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Ето задачите, които определено трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Точно от първия път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...
Запомнете - верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.
така че решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. И само Тогававижте отговорите.
Изчислете:
решихте ли
Търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. ако не...
Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но... Това разрешими проблеми.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудната част от тези действия беше привеждането на дроби към общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека да разгледаме най-простият случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.
За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.
Обозначение:
От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби
Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс с минус дава минус;
- Две отрицания правят утвърдително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървете от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:
- Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го изваждаме от границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.
Задача. Намерете значението на израза:
Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:
Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).
Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете значението на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери числата, които са били намалени и това, което е останало от тях, са маркирани в червено.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилното решениепредишната задача изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразувайте смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Обърнете внимание!За да умножите смесена дроб по друга смесена дроб, първо трябва да ги приведете във формата неправилни дроби, а след това умножете по правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб по естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод на умножение обикновена дробна брой.
Обърнете внимание!За да умножите дроб по естествено числоНеобходимо е да разделите знаменателя на дробта на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера по-горе става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да се намали такава дроб до познат поглед, използвайте деление на 2 точки:
Обърнете внимание!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Моля, обърнете внимание Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи с различни видове дроби се преминава към вид обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Т тип урок:ОНЗ (откриване на нови знания – по технологията на дейностния метод на обучение).
Основни цели:
- Изведете методи за деление на дроб на естествено число;
- Развиват способността да делят дроб на естествено число;
- Повторете и затвърдете деленето на дроби;
- Тренирайте способността за намаляване на дроби, анализиране и решаване на проблеми.
Материал за демонстрация на оборудването:
1. Задачи за актуализиране на знанията:
Сравнете изразите:
Справка:
2. Пробна (самостоятелна) задача.
1. Извършете разделяне:
2. Извършете разделяне, без да извършвате цялата верига от изчисления: .
Стандарти:
- Когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но да оставите числителя същия.
- Ако числителят се дели на естествено число, тогава когато разделяте дроб на това число, можете да разделите числителя на числото и да оставите знаменателя същия.
Напредък на урока
I. Мотивация (самоопределение) към образователни дейности.
Предназначение на етапа:
- Организирайте актуализирането на изискванията към ученика по отношение на учебната дейност („трябва“);
- Организиране на дейности на учениците за създаване на тематични рамки („Аз мога“);
- Създайте условия у ученика да развие вътрешна потребност от включване в образователни дейности („искам”).
Организация образователен процесна етап I.
здравей Радвам се да ви видя всички на урока по математика. Надявам се да е взаимно.
Момчета, какви нови знания придобихте в последния урок? (Разделете дроби).
вярно Какво ви помага при деленето на дроби? (Правило, свойства).
Къде са ни необходими тези знания? (В примери, уравнения, задачи).
браво! Справихте се добре със задачите в последния урок. Искате ли сами да откриете нови знания днес? (Да).
Тогава - да вървим! И мотото на урока ще бъде твърдението „Не можете да научите математика, като гледате как съседът ви го прави!“
II. Актуализиране на знанията и отстраняване на индивидуални затруднения в пробно действие.
Предназначение на етапа:
- Организирайте актуализирането на научените методи на действие, достатъчни за изграждане на нови знания. Запишете тези методи вербално (в речта) и символично (стандартно) и ги обобщете;
- Организират актуализирането на мисловни операции и когнитивни процеси, достатъчни за конструиране на нови знания;
- Мотивира за пробно действие и самостоятелното му изпълнение и обосновка;
- Представят индивидуална задача за пробно действие и я анализират с цел идентифициране на ново учебно съдържание;
- Организирайте фиксирането на образователната цел и темата на урока;
- Организиране на изпълнението на пробно действие и отстраняване на затруднението;
- Организирайте анализ на получените отговори и запишете индивидуалните трудности при извършване на пробно действие или обосноваването му.
Организация на учебния процес на II етап.
Фронтално, с помощта на таблети (индивидуални дъски).
1. Сравнете изразите:
(Тези изрази са равни)
Какви интересни неща забелязахте? (Числителят и знаменателят на делителя, числителят и знаменателят на делителя във всеки израз са увеличени с еднакъв брой пъти. По този начин делителите и делителите в изразите са представени с дроби, които са равни помежду си).
Намерете значението на израза и го запишете на таблета си. (2)
Как мога да запиша това число като дроб?
Как извършихте действието разделяне? (Децата рецитират правилото, учителят го окачва на дъската буквени обозначения)
2. Изчислете и запишете само резултатите:
3. Съберете резултатите и запишете отговора. (2)
Как се нарича числото, получено в задача 3? (естествен)
Мислите ли, че можете да разделите дроб на естествено число? (Да, ще опитаме)
Опитайте това.
4. Индивидуална (пробна) задача.
Извършете деление: (само пример a)
Какво правило използвахте за разделяне? (Според правилото за деление на дроби по дроби)
Сега разделете дробта на естествено число, по-голямо от по прост начин, без извършване на цялата верига от изчисления: (пример b). Ще ви дам 3 секунди за това.
Кой не успя да изпълни задачата за 3 секунди?
Кой го направи? (няма такова нещо)
защо (Не знаем пътя)
Какво получи? (трудност)
Какво мислите, че ще правим в клас? (Делите дроби на естествени числа)
Точно така, отворете си тетрадките и запишете темата на урока: „Деление на дроб с естествено число“.
Защо тази тема звучи ново, когато вече знаете как да разделяте дроби? (Има нужда от нов начин)
вярно Днес ще установим техника, която опростява делението на дроб на естествено число.
III. Идентифициране на местоположението и причината за проблема.
Предназначение на етапа:
- Организирайте възстановяването на завършени операции и записвайте (словесно и символично) мястото – стъпка, операция – където е възникнало затруднението;
- Организирайте съпоставянето на действията на учениците с използвания метод (алгоритъм) и фиксирането във външната реч на причината за затруднението - тези специфични знания, умения или способности, които липсват за решаване на първоначалния проблем от този тип.
Организация на учебния процес в III етап.
Каква задача трябваше да изпълните? (Разделете дроб на естествено число, без да преминавате през цялата верига от изчисления)
Какво ви причини затруднение? (Не можах да реша за кратко времебърз начин)
Каква цел си поставяме в урока? (Намерете бърз начинделение на дроб на естествено число)
Какво ще ви помогне? (Вече известно правило за деление на дроби)
IV. Изграждане на проект за излизане от проблем.
Предназначение на етапа:
- Изясняване на целта на проекта;
- Избор на метод (изясняване);
- Определяне на средни стойности (алгоритъм);
- Изграждане на план за постигане на целта.
Организация на учебния процес в IV етап.
Да се върнем към тестовата задача. Казахте, че сте разделили според правилото за деление на дроби? (да)
За да направите това, заменете естествено число с дроб? (да)
Коя стъпка (или стъпки) според вас може да се пропусне?
(Веригата на решението е отворена на дъската: 
Анализирайте и направете заключение. (Стъпка 1)
Ако няма отговор, тогава ще ви преведем през въпроси:
Къде отиде естественият делител? (В знаменателя)
Променил ли се е числителят? (Не)
И така, коя стъпка можете да „пропуснете“? (Стъпка 1)
План за действие:
- Умножете знаменателя на дроб по естествено число.
- Ние не променяме числителя.
- Получаваме нова фракция.
V. Изпълнение на изградения обект.
Предназначение на етапа:
- Организира комуникативно взаимодействие с цел реализиране на изградения проект, насочен към придобиване на липсващите знания;
- Организирайте записа на изградения метод на действие в речта и знаците (с помощта на стандарт);
- Организирайте решението на първоначалния проблем и запишете как да преодолеете затруднението;
- Организирайте изясняване на общия характер на новите знания.
Организация на учебния процес на V етап.
Сега бързо стартирайте тестовия случай по нов начин.
Сега успяхте ли да изпълните задачата бързо? (да)
Обяснете как направихте това? (Деца говорят)
Това означава, че получихме нови знания: правилото за деление на дроб на естествено число.
браво! Кажете го по двойки.
След това един ученик говори на класа. Ние фиксираме алгоритъма-правило устно и под формата на стандарт на дъската.
Сега въведете обозначенията на буквите и запишете формулата за нашето правило.
Ученикът пише на дъската, като казва правилото: когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но оставете числителя същия.
(Всеки записва формулата в тетрадките си).
Сега отново анализирайте веригата за вземане на решения пробна задача, като обърна специално внимание на отговора. какво направи (Числителят на дробта 15 беше разделен (намален) на числото 3)
Какво е това число? (Естествен, делител)
И така, как иначе можете да разделите дроб на естествено число? (Проверете: ако числителят на дроб се дели на това естествено число, можете да разделите числителя на това число, да запишете резултата в числителя на новата дроб и да оставите знаменателя същия)
Запишете този метод като формула. (Ученикът записва правилото на дъската, докато го произнася. Всеки записва формулата в тетрадките си.)
Да се върнем към първия метод. Можете да го използвате, ако a:n? (Да, така е общ метод)
И кога е удобно да използвате втория метод? (Когато числителят на дроб се дели на естествено число без остатък)
VI. Първична консолидация с произношение във външна реч.
Предназначение на етапа:
- Организирайте усвояването от децата на нов метод на действие при решаване на стандартни проблеми с тяхното произношение във външна реч (фронтално, по двойки или групи).
Организация на учебния процес в VI етап.
Изчислете по нов начин:
- № 363 (a; d) - изпълнява се на дъската, произнасяйки правилото.
- № 363 (д; е) - по двойки с проверка по образец.
VII. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт.
Предназначение на етапа:
- Организирайте самоизпълнениена учениците се дават задачи за нов начин на действие;
- Организирайте самотест въз основа на сравнение със стандарта;
- Въз основа на резултатите от изпълнението самостоятелна работаорганизирайте размисъл върху усвояването на нов начин на действие.
Организация на учебния процес на VII етап.
Изчислете по нов начин:
- № 363 (b; c)
Учениците проверяват стандарта и отбелязват правилността на изпълнението. Причините за грешките се анализират и грешките се коригират.
Учителят пита тези ученици, които са направили грешки, каква е причината?
На този етап е важно всеки ученик самостоятелно да проверява работата си.
VIII. Включване в системата от знания и повторение.
Предназначение на етапа:
- Организира идентифицирането на границите на приложение на нови знания;
- Организирайте повторение на учебното съдържание, необходимо за осигуряване на смислена приемственост.
Организация на учебния процес в VIII етап.
Организация на учебния процес в ІХ етап.
1. диалог:
Момчета, какви нови знания открихте днес? (Научих как да разделя дроб на естествено число по прост начин)
Формулирайте общ метод. (Казват)
По какъв начин и в какви случаи можете да го използвате? (Казват)
Какво е предимството на новия метод?
Постигнахме ли целта на урока? (да)
Какви знания използвахте, за да постигнете целта си? (Казват)
Всичко получи ли се при вас?
Какви бяха трудностите?
2. домашна работа: точка 3.2.4.; № 365(l, n, o, p); № 370.
3. Учител:Радвам се, че днес всички бяха активни и успяха да намерят изход от затруднението. И най-важното, не са били съседи при откриването на нов и основаването му. Благодаря за урока, деца!