Има безкраен брой плоски фигури различни форми, правилно и грешно. Обща собственоствсички фигури - всяка от тях има площ. Площите на фигурите са размерите на частта от равнината, заета от тези фигури, изразени в определени единици. Това количество винаги се изразява положително число. Мерната единица е площта на квадрат, чиято страна е равна на единица дължина (например един метър или един сантиметър). Приблизителната площ на всяка фигура може да се изчисли чрез умножаване на броя на единичните квадрати, на които е разделена, по площта на един квадрат.

Други определения на това понятие са както следва:

1. Площите на простите фигури са скаларни положителни величини, които отговарят на условията:

Еднаквите фигури имат равни площи;

Ако една фигура е разделена на части (прости фигури), тогава нейната площ е сумата от площите на тези фигури;

Квадрат със страна на мерна единица служи като единица за площ.

2. Области на фигури сложна форма(многоъгълници) - положителни величини със следните свойства:

Еднаквите многоъгълници имат еднакви размери на площта;

Ако един полигон е съставен от няколко други полигона, неговата площ е равна на сумата от площите на последните. Това правило е валидно за полигони без припокриване.

Аксиома е, че площите на фигурите (многоъгълниците) са положителни величини.

Дефиницията на площта на кръг се дава отделно като стойността, към която клони площта на даден кръг, вписан в кръг - въпреки факта, че броят на неговите страни клони към безкрайност.

Площите на фигури с неправилна форма (произволни фигури) нямат определение, определят се само методите за тяхното изчисляване.

Още в древни времена изчисляването на площите е било важна практическа задача при определяне на размера на парцелите. Правилата за изчисляване на площи за няколкостотин години са формулирани от гръцки учени и изложени в Елементи на Евклид като теореми. Интересно е, че правилата за определяне на площите на простите фигури в тях са същите като сегашните. Площите с извит контур бяха изчислени с помощта на преминаването към границата.

Изчисляването на площите на обикновен правоъгълник или квадрат), познато на всички от училище, е доста просто. Дори не е необходимо да запомняте съдържанието буквени обозначенияформули за площите на фигурите. Достатъчно е да запомните няколко прости правила:

2. Площта на правоъгълник се изчислява чрез умножаване на дължината му по ширината му. Необходимо е дължината и ширината да бъдат изразени в едни и същи мерни единици.

3. Изчисляваме площта на сложна фигура, като я разделяме на няколко прости и добавяме получените области.

4. Диагоналът на правоъгълник го разделя на два триъгълника, чиито площи са равни и равни на половината от неговата площ.

5. Площта на триъгълник се изчислява като половината от произведението на неговата височина и основа.

6. Площта на кръга е равна на произведението на квадрата на радиуса и добре познатото число "π".

7. Изчисляваме площта на паралелограма като произведение на съседните страни и синуса на ъгъла, разположен между тях.

8. Площта на ромба е ½ резултат от умножаването на диагоналите по синуса на вътрешния ъгъл.

9. Намерете площта на трапец, като умножите височината му по дължината му средна линия, което е равно на средноаритметичната стойност на основите. Друга възможност за определяне на площта на трапец е да се умножат неговите диагонали и синусът на ъгъла, лежащ между тях.

Децата в основно училищеЗа по-голяма яснота често се дават задачи: намерете площта на фигура, начертана на хартия, като използвате палитра или лист прозрачна хартия, разделена на квадрати. Такъв лист хартия се поставя върху фигурата, която се измерва, брои се броят на пълните клетки (площни единици), които се вписват в очертанията му, след това броят на непълните, който се разделя наполовина.

Урок по темата: "Формули за определяне на площта на триъгълник, правоъгълник, квадрат"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 5 клас
Симулатор към учебника на I.I. Zubareva и A.G. Mordkovich
Симулатор към учебника на Г.В. Дорофеев и Л.Г

Определение и понятие за площ на фигура

За да разберете по-добре каква е площта на фигурата, разгледайте фигурата.
Тази произволна фигура е разделена на 12 малки квадрата. Страната на всеки квадрат е 1 см, а площта на всеки квадрат е 1 квадратен сантиметър, което се записва по следния начин: 1 см 2.

Тогава площта на фигурата е 12 квадратни сантиметра. В математиката се обозначава площ латиницаС.
Това означава, че площта на нашата фигура е: S форма = 12 cm 2.

Площта на фигурата е равна на площта на всички малки квадратчета, които я съставят!

Момчета, помнете!
Площта се измерва в квадратни единици за дължина. Площни единици:
1. Квадратни километър - km 2 (когато площите са много големи, например страна или море).
2. Квадратен метър - m2 (доста подходящ за измерване на площта на парцел или апартамент).
3. Квадратни сантиметър- cm 2 (обикновено се използва в уроците по математика при рисуване на фигури в тетрадка).
4. Квадратни милиметър - mm 2.

Площ на триъгълник

Нека разгледаме два вида триъгълници: правоъгълни и произволни.

За да намерите площта на правоъгълен триъгълник, трябва да знаете дължината на основата и височината. В правоъгълен триъгълник височината се заменя с една от страните. Следователно във формулата за площта на триъгълник, вместо височината, заместваме една от страните.
В нашия пример страните са 7 см и 4 см, формулата за изчисляване на площта на триъгълник е написана по следния начин:
S на правоъгълен триъгълник ABC = BC * CA: 2

S на правоъгълен триъгълник ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Сега разгледайте произволен триъгълник.

За такъв триъгълник трябва да начертаете височината до основата.
В нашия пример височината е 6 см, а основата е 8 см. Както в предишния пример, изчисляваме площта по формулата:
S на произволен триъгълник ABC = BC * h: 2.

Нека заместим нашите данни във формулата и да получим:
S на произволен триъгълник ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Площ на правоъгълник и квадрат

Вземете правоъгълник ABCD със страни 5 cm и 8 cm.
Формулата за изчисляване на площта на правоъгълник е написана, както следва:
S правоъгълник ABCD = AB * BC.

S правоъгълник ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Сега нека изчислим площта на квадрата. За разлика от правоъгълник и триъгълник, за да намерите площта на квадрат, трябва да знаете само едната страна. В нашия пример страната на квадрат ABCD е 9 cm. S квадрат ABCD = AB * BC = AB 2.

Нека заместим нашите данни във формулата и да получим:
S квадрат ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Квадрати геометрични форми- числени стойности, характеризиращи техния размер в двумерно пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така, например, несистемна единица площ е стотна, хектар. Такъв е случаят, ако повърхността, която се измерва, е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI е общоприето, че единицата площ на равна повърхност е квадратен метър. В GHS единицата за площ се изразява като квадратен сантиметър.

Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на равнинните фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извличат няколко опции, от които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от постановката на задачата можем да определим най-простото възможно решение. Това ще улесни изчислението и ще намали до минимум вероятността от изчислителни грешки. За да направите това, помислете за основните области на фигурите в геометрията.

Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени в няколко варианта:

1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. За основа се счита страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:

2) Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако вземем крака като основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката наполовина.

Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страни a,bи синусоидална функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Можете също да го намерите с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:

от това равенствоМожете също така да се уверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгъл γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.

3) Помислете специален случай - правилен триъгълник, чиято страна a е известна по условие или чиято дължина може да бъде намерена в решението. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:

Правоъгълник

Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчисление е:

Ако трябва да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ще ви трябва функция на синуса на ъгъла, образуван при пресичането им. Тази формула за площта на правоъгълник е:

Квадрат

Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:

Доказателството следва от определението, че квадратът е правоъгълник. Всички страни, които образуват квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.

Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонала:

Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничена от кръг? За да изчислите площта, формулите са:

Успоредник

За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще се изисква определена стойност, която ще вземе тригонометрична функцияъгълът, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.

Формулите за площта на успоредник са:

Ромб

Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на проста математически операциис диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните отсечки в d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. От таблицата на синусите се вижда, че за прав ъгълтази функция е равна на единица. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:

Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно за доказване, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ - вътрешен ъгълромб Площта на ромба се определя, както следва:

Трапец

Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако задачата показва техните дължини? Тук без известна стойностдължина на височина h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:

Квадратният размер на правоъгълен трапец също може да се изчисли по същия начин. Взема се предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно, за правоъгълен трапец, трябва да посочите дължината на страничната страна вместо височината.

Цилиндър и паралелепипед

Нека разгледаме какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на дадена фигура е чифт кръгове, наречени основи, и странична повърхност. Окръжностите, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:

Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Размерите му отговарят на конкретния чифт. Противоположните лица имат еднакви параметри. Първо, намерете S(1), S(2), S(3) - квадратните размери на неравните лица. Тогава повърхността на паралелепипеда е:

Пръстен

Две окръжности с общ център образуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В същото време и двете формули за изчислениевземете предвид размерите на всеки кръг. Първият от тях, изчисляващ площта на пръстена, съдържа по-големия R и по-малкия r радиус. По-често те се наричат ​​външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява чрез по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена въз основа на известни радиуси се изчислява, както следва:

Площта на пръстена, използвайки дължините на диаметрите, се определя, както следва:

Многоъгълник

Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Обща формулаНяма такива цифри за площ. Но ако тя е изобразена на координатна равнина, например, може да е карирана хартия, тогава как да намеря повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Peake. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в прекъснатата линия с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:

където B, G - броят на точките, разположени съответно вътре и на цялата прекъсната линия.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор най-много полезен ресурсЗа

Как да намерите площта на фигурите на карирана хартия:

Нека да илюстрираме първи начин.

Да предположим, че трябва да намерите площта на такъв трапец, изграден върху лист хартия в клетка

Просто преброяваме клетките и виждаме, че в нашия случай, и. Заместете във формулата:

Изглежда дори правоъгълно и, но на какво е равно и на какво е равно? Как да разберем? Нека използваме и двата метода за пълна яснота.

Метод I

Метод II (Ще ви кажа една тайна - този метод е по-добър!)

Трябва да оградим нашата фигура с правоъгълник. като това:

Резултатът беше един (необходим) триъгълник отвътре и три ненужни триъгълника отвън. Но площите на тези ненужни триъгълници лесно се изчисляват върху кариран лист хартия!

Ще ги преброим и след това просто ще ги извадим от целия правоъгълник.

Защо този метод е по-добър? защото работи дори и за най-хитрите фигури.

Ограждаме го с правоъгълник и отново получаваме една необходима, но сложна област и много ненужни, но прости.

Сега, за да намерим площта, просто намираме площта на правоъгълника и изваждаме от нея оставащата площ на фигурите върху карираната хартия.

КВАДРАТ ОТ ФИГУРИ ВЪРХУ КАРИРАНА ХАРТИЯ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Алгоритъм за намиране на площта на фигурите върху карирана хартия:

Метод 1: (удобен за стандартни форми: триъгълник, трапец и др.)

1. Чрез преброяване на клетките и прилагане на прости теореми, намерете тези страни, височини, диагонали, които са необходими за прилагане на формулата за площ.
2. Заместете намерените стойности в уравнението на площта.

Метод 2: (много удобен за сложни фигури, но също така не е лош за прости)

1. Завършете желаната фигура до правоъгълник.
2. Намерете площта на всички получени допълнителни фигури и площта на самия правоъгълник.
3. От площта на правоъгълника извадете сумата от площите на всички допълнителни форми.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО - до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, за които ще говорим.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част профил Единен държавен изпитВ математиката се използват и други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равно на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.

Не е толкова лесно да се изчисли колко са основата и височината в този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълници. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), а дължината на дъгата на даден сектор е равна на , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.