Знания и умения, придобити при този урок, ще бъдат полезни на учениците не само в часовете по геометрия, но и в часовете по други науки. По време на урока учениците ще се научат да начертават вектор от дадена точка. Това може да бъде редовен урок по геометрия или извънкласен или избираем час по математика. Това развитие ще помогне на учителя да спести време за подготовка за урока по темата „Забавяне на вектор от дадена точка“. За него ще бъде достатъчно да пусне видео урока в час и след това да затвърди материала със собствена селекция от упражнения.
Продължителността на урока е само 1:44 минути. Но това е достатъчно, за да научи учениците да начертават вектор от дадена точка.
Урокът започва с демонстрация на вектор, чието начало е в определена точка. Казват, че векторът е отложен от него. След това авторът предлага да докаже заедно с него твърдението, според което от всяка точка е възможно да се начертае вектор, равен на дадения и освен това уникален. По време на доказването авторът разглежда подробно всеки случай. Първо, приема ситуацията, когато даденият вектор е нула, и второ, когато векторът е различен от нула. По време на доказването се използват илюстрации под формата на чертежи и конструкции, математическа нотация, които формират математическа грамотност у учениците. Авторът говори бавно, позволявайки на учениците да водят бележки паралелно, докато коментират. Конструкцията, която авторът извършва по време на доказателството на формулираното по-рано твърдение, показва как от определена точка може да се построи вектор, равен на дадения.
Ако учениците внимателно гледат урока и едновременно с това си водят бележки, лесно ще научат материала. Освен това авторът разказва подробно, премерено и доста пълно. Ако по някаква причина не сте чули нещо, можете да се върнете и да гледате урока отново.
След като гледате видео урока, препоръчително е да започнете да консолидирате материала. Препоръчва се на учителя да подбере задачи по тази тема, за да упражни умението за начертаване на вектор от дадена точка.
Този урок може да се използва за самообучениетеми от ученици. Но за да консолидирате, трябва да се свържете с учителя, за да може той да избере подходящи задачи. В крайна сметка, без консолидиране на материала е трудно да се постигне положителен резултат в ученето.
Страница 1 от 2
Въпрос 1.Какво е вектор? Как се обозначават векторите?
отговор.Насочена отсечка ще наричаме вектор (фиг. 211). Посоката на вектора се определя чрез посочване на началото и края му. На чертежа посоката на вектора е обозначена със стрелка. За означаване на вектори ще използваме малки латински букви a, b, c, .... Можете също така да обозначите вектор, като посочите началото и края му. В този случай началото на вектора се поставя на първо място. Вместо думата "вектор" по-горе буквено обозначениеВекторите понякога са маркирани със стрелка или линия. Векторът на фигура 211 може да бъде обозначен по следния начин:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) или \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Въпрос 2.Какви вектори се наричат еднакво насочени (противоположно насочени)?
отговор.Казват, че векторите \(\overline(AB)\) и \(\overline(CD)\) са еднакво насочени, ако полуправите AB и CD са еднакво насочени.
Казват, че векторите \(\overline(AB)\) и \(\overline(CD)\) са срещуположно насочени, ако полуправите AB и CD са противоположно насочени.
На фигура 212 векторите \(\overline(a)\) и \(\overline(b)\) са еднакво насочени, а векторите \(\overline(a)\) и \(\overline(c)\ ) са противоположно насочени.
Въпрос 3.Каква е абсолютната величина на вектор?
отговор.Абсолютната стойност (или модул) на вектор е дължината на сегмента, представящ вектора. Абсолютната стойност на вектора \(\overline(a)\) се означава с |\(\overline(a)\)|.
Въпрос 4.Какво е нулев вектор?
отговор.Началото на един вектор може да съвпадне с неговия край. Ще наричаме такъв вектор нулев вектор. Нулевият вектор се обозначава с нула с тире (\(\overline(0)\)). Те не говорят за посоката на нулевия вектор. Абсолютната стойност на нулевия вектор се счита за равна на нула.
Въпрос 5.Какви вектори се наричат равни?
отговор.Два вектора се наричат равни, ако се комбинират чрез паралелна транслация. Това означава, че има паралелна транслация, която отвежда началото и края на един вектор съответно до началото и края на друг вектор.
Въпрос 6.Докажете, че равните вектори имат еднаква посока и са равни по абсолютна стойност. И обратно: еднакво насочени вектори, които са равни по абсолютна стойност, са равни.
отговор.По време на паралелен превод векторът запазва посоката си, както и абсолютната си стойност. Това означава, че равните вектори имат еднакви посоки и са равни по абсолютна стойност.
Нека \(\overline(AB)\) и \(\overline(CD)\) са еднакво насочени вектори, еднакви по абсолютна стойност (фиг. 213). Паралелна транслация, която премества точка C към точка A, комбинира полуправата CD с полуправата AB, тъй като те имат една и съща посока. И тъй като отсечките AB и CD са равни, то точка D съвпада с точка B, т.е. паралелната транслация трансформира вектора \(\overline(CD)\) във вектора \(\overline(AB)\). Това означава, че векторите \(\overline(AB)\) и \(\overline(CD)\) са равни, което трябваше да се докаже.
Въпрос 7.Докажете, че от всяка точка можете да начертаете вектор, равен на даден вектор, и то само един.
отговор.Нека CD е права и векторът \(\overline(CD)\) е част от правата CD. Нека AB е правата линия, в която правата CD преминава по време на паралелно прехвърляне, \(\overline(AB)\) е векторът, в който векторът \(\overline(CD)\) преминава по време на паралелно прехвърляне, и следователно векторите \(\ overline(AB)\) и \(\overline(CD)\) са равни, а правите AB и CD са успоредни (виж Фиг. 213). Както знаем, през точка, която не лежи на дадена права, на равнината може да се прекара най-много една права, успоредна на дадената (аксиома за успоредните прави). Това означава, че през точка А може да се начертае една права, успоредна на правата CD. Тъй като векторът \(\overline(AB)\) е част от правата AB, тогава през точка A може да се начертае един вектор \(\overline(AB)\), равен вектор y \(\overline(CD)\).
Въпрос 8.Какво представляват векторните координати? Каква е абсолютната стойност на вектора с координати a 1, a 2?
отговор.Нека векторът \(\overline(a)\) има начална точка A 1 (x 1 ; y 1) и крайна точка A 2 (x 2 ; y 2). Координатите на вектора \(\overline(a)\) ще бъдат числата a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Ще поставим координатите на вектора до буквеното обозначение на вектора, в този случай \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) или просто \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Координатите на нулевия вектор са равни на нула.
От формулата, изразяваща разстоянието между две точки чрез техните координати, следва, че абсолютната стойност на вектора с координати a 1, a 2 е равна на \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\).
Въпрос 9.Докажете, че равните вектори имат съответно равни координати, а векторите със съответно равни координати са равни.
отговор.Нека A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2) са началото и краят на вектора \(\overline(a)\). Тъй като векторът \(\overline(a)\), равен на него, се получава от вектора \(\overline(a)\) чрез паралелен трансфер, неговото начало и край ще бъдат A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) съответно), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Това показва, че и двата вектора \(\overline(a)\) и \(\overline(a")\) имат същите координати: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Нека сега докажем обратното твърдение. Нека съответните координати на векторите \(\overline(A 1 A 2 )\) и \(\overline(A" 1 A" 2 )\) са равни. Нека докажем, че векторите са равни.
Нека x" 1 и y" 1 са координатите на точка A" 1, а x" 2, y" 2 са координатите на точка A" 2. Съгласно условията на теоремата, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Следователно x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Паралелен трансфер, даден с формули
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
пренася точка А 1 в точка А" 1, а точка А 2 в точка А" 2, т.е. векторите \(\overline(A 1 A 2 )\) и \(\overline(A" 1 A" 2 )\) са равни, което трябваше да се докаже.
Въпрос 10.Определете сумата от вектори.
отговор.Сумата от векторите \(\overline(a)\) и \(\overline(b)\) с координати a 1 , a 2 и b 1 , b 2 е векторът \(\overline(c)\) с координати a 1 + b 1, a 2 + b a 2, т.е.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
1. Определете равенството на геометричните вектори.
две геометричен векторсе наричат равни, ако:
те са колинеарни и еднопосочни;
дължините им са еднакви.
2. Определете сумата от вектори и умножението на вектор по число.
Сумата a + b на два вектора a и b се нарича вектор c, конструиран съгласно следното правило на триъгълника. Нека подравним началото на вектор b с края на вектор a. Тогава сумата от тези вектори ще бъде вектор c, чието начало съвпада с началото на a, а краят с края на b.
Наред с правилото на триъгълника съществува правилото на успоредника. След като избрахме общ произход за вектори a и b, ние конструираме успоредник върху тези вектори. Тогава диагоналът на успоредника, идващ от общото начало на векторите, определя тяхната сума.
При умножаване на вектор по число посоката на вектора не се променя, но дължината на вектора се умножава по числото.
3. Дайте дефиниции на колинеарни и копланарни вектори.
Два геометрични вектора се наричат колинеарни, ако лежат на една права или на успоредни прави.
Три геометрични вектора се наричат компланарни, ако тези вектори лежат на прави, успоредни на някаква равнина.
4. Дефинирайте линейно зависима и линейно независима система от вектори.
Векторите a 1 , … , a n се наричат линейно зависими, ако има такъв набор от коефициенти α 1 , . . . , α n , че α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 и поне един от тези коефициенти е различен от нула.
Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава векторите се наричат линейно независими.
5. Формулирайте геометрични критерии линейна зависимост 2 и 3 вектора.
Два вектора са линейно зависими тогава и само ако са колинеарни.
6. Дефинирайте основата и координатите на вектор.
Базисът е набор от вектори във векторно пространство, така че всеки вектор в това пространство може да бъде уникално представен като линейна комбинация от вектори от този набор - базисни вектори.
Векторните координати са коефициентите на единствената възможна линейна комбинация от базисни вектори в избраната координатна система, равна на дадения вектор.
7. Формулирайте теорема за разлагането на вектор спрямо базис.
Всеки вектор на векторно пространство може да бъде разширен в неговата основа и освен това по уникален начин.
Ако = (̅ | – основа , ̅ | = (1, 2, 3) , тогава има набор от числа ( | ...) така че |
||||
̅ + + ̅̅, където ( | ...) – координати на вектора в базиса. | ||||||
8. Дефинирайте ортогоналната скаларна проекция на вектор върху посока.
Ортогоналната проекция на вектор върху посоката на вектора се нарича скаларна величина Pr = | | cos(), където angle е ъгълът между векторите.
9. Дефинирайте скаларното произведение на векторите.
Скаларното произведение на два вектора е числото равно на cos -
произведение на дължини | | и| | на тези вектори по косинуса на ъгъла между тях.
10. Формулирайте свойството линейност на скаларното произведение.
λ(̅ ̅ ).
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
11. Напишете формула за изчисляване на скаларното произведение на два вектора, дадени в ортонормална база.
̅ = { , }, ̅ = { , }
̅ ̅ = + +
12. Запишете формула за косинус на ъгъла между векторите, зададени в ортонормална основа.
̅ ̅ cos =̅ |̅|| |
13. Дефинирайте дясната и лявата тройка вектори.
Подредена тройка от некомпланарни вектори a, b, c се нарича права, ако посоката на вектора се комбинира с посоката на вектора b, като се използва най-краткото завъртане на вектора в равнината на тези вектори, което от страната на вектора се прави обратно на часовниковата стрелка . В противен случай (въртене по часовниковата стрелка) тази тройка се нарича лява.
14. Дефинирайте векторното произведение на векторите.
Векторни произведения на изкуствотонеколинеарни вектори ̅ и ̅ се наричат вектор ̅, който отговаря на следните три условия:
вектор c е ортогонален на векторите a и b;
дължината на вектора c е равна на |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, където ϕ е ъгълът между векторите ̅ и ̅ ;
подредената тройка вектори ̅ ,̅ ,с̅ е дясноориентирана.
15. Формулирайте свойството комутативност (симетричност) на скаларно произведение и свойството антикомутативност (антисиметричност) на векторно произведение.
Скаларното произведение е комутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .
Векторното произведение е антикомутативно: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .
16. Формулирайте свойството линейност на векторното произведение на векторите.
свойството асоциативност заедно с умножение по число (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );
свойство на разпределимост по отношение на събирането (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .
Свойствата на асоциативност и дистрибутивност на векторно произведение се комбинират, подобно на случая на скаларно произведение, в свойство на линейност на векторно произведение
спрямо първия фактор. Поради свойството антикомутативност на векторно произведение, векторното произведение е линейно по отношение на втория фактор:
̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )
̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .
17. Запишете формула за изчисляване на векторното произведение в десен ортонормиран базис.
̅ = { , }, ̅ = { , }.
18. Дефинирайте смесено произведение на вектори.
Смесена работатри вектора̅ ,̅ ,с̅ се нарича число, равно на (̅ ×̅ )с̅ - скаларното произведение на векторното произведение на първите два вектора и третия вектор.
19. Формулирайте свойството пермутация (коса симетрия) на смесен продукт.
Важи за смесена работа правило за циклична пермутация:
̅ с̅ = с̅ ̅ | = ̅с ̅= − ̅ с̅ | = − с̅ ̅= − ̅ ̅с. | ||||||||
20. Формулирайте свойството линейност на смесен продукт. | ||||||||||
За смесен продукт свойството асоциативност по отношение на | ||||||||||
умножаване на вектори с число: (λ ̅ )с̅ | = λ(̅ с̅ ). | |||||||||
За смесен продукт, свойството за разпределимост е валидно: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅ | = ̅̅̅ |
|||||||||
̅с + ̅̅̅ | ||||||||||
с. | ||||||||||
Тези свойства на смесен продукт са формулирани за първия фактор. Въпреки това, използвайки циклична пермутация, може да се докаже подобно
твърдения както за втория, така и за третия фактор, т.е. равенствата са верни
̅ (λ̅) ̅s = λ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (λ̅s) = λ (̅ ̅ ̅ ̅s), ̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2) ̅s = ̅ ̅̅̅ 1 ̅s +̅ 2 ̅s, ̅ ̅ (̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ 1 +̅ ̅ 2 ,
и в резултат имаме свойството линейност на смесеното произведение за всеки фактор.
21. Напишете формула за изчисляване на смесен продукт в правилна ортонормална основа.
̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }
22. Записвайте общо уравнениеравнини и уравнението “в сегменти”. Обяснете геометричния смисъл на параметрите, включени в тези уравнения.
Уравнението Ax + By + Cz + D = 0 се нарича общо уравнение на равнината. Коефициентите A, B, C за неизвестните в това уравнение имат ясен геометричен смисъл: векторът n = (A; B; C) е перпендикулярен на равнината. Нарича се нормален вектор на равнината. То, подобно на общото уравнение на равнината, се определя с точност до (ненулев) числов фактор.
Уравнението + + = 1 се нарича уравнение на равнината в сегменти, където a, b, c –
съответните координати на точки, лежащи съответно на осите OX, OY и OZ.
23. Напишете уравнението на равнината, минаваща през дадени 3 точки.
Нека 1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – дадени точкии точката M(x, y, z) е точка, принадлежаща на равнината, образувана от точки 1, 2 и 3, тогава уравнението на равнината има
− 1 | − 1 | − 1 |
| 2 −1 | 2 − 1 | 2 −1 | = 0 |
3 − 1 | 3 − 1 | 3 − 1 |
24. Формулирайте условията за успоредност и перпендикулярност на две равнини.
Два самолета перпендикулярен, ако нормалните им вектори са ортогонални.
Две равнини са успоредни, ако нормалните им вектори са колинеарни.
25. Запишете формула за разстоянието от точка до равнина, дадено от общото уравнение.
Да се намери разстоянието от точка 0 (0, 0, 0) до равнината
: + + + = 0 се използва формулата:(,) = | 0 + 0 + 0 + |
√ 2 +2 +2
26. Запишете каноничните и параметричните уравнения на права линия в пространството. Обяснете геометричния смисъл на параметрите, включени в тези уравнения.
Уравнение ( = 0 + , където (l; m; n) са координатите на вектора на посоката = права линия L и
(0 ;0 ; | – наричат се координати на точка 0 L в правоъгълната координатна система |
|||||||||||||||
параметрични уравнения на права линия в пространството. |
||||||||||||||||
Уравнение | − 0 | − 0 | − 0 | се наричат канонични уравнения на правата |
||||||||||||
пространство. | ||||||||||||||||
27. Напишете уравнението на права, минаваща през две дадени точки в пространството. |
||||||||||||||||
Уравнения | − 1 | − 1 | − 1 | наречени уравнения на права, минаваща през две точки |
||||||||||||
1 (1 ,1 ,1 ) и 2 (2 ,2 ,2 ).
28. Запишете условието две прави да принадлежат на една и съща равнина.
Нека a и b са насочващите вектори на тези прави и нека точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите il 1 и 2. Тогава две прави ще принадлежат на една и съща равнина, ако смесеното произведение (a, b, M1 M2) е равно на 0.
29. Запишете формулата за разстоянието от точка до права в пространството.
Разстоянието от точка 1 до права линия L може да се изчисли по формулата:
30. Запишете формулата за разстоянието между пресичащите се прави.
Разстоянието между пресичащите се линии 1 и 2 може да се изчисли по формулата:
собственост на директен
1. Докажете геометричен критерий за линейната зависимост на три вектора.
Три вектора са линейно зависими тогава и само ако са копланарни.
Доказателство:
Ако три вектора ̅ ,̅ ,̅ са линейно зависими, то съгласно теорема 2.1 (за линейната зависимост на векторите), един от тях, например ̅ , е линейна комбинация от останалите: ̅ = β̅ + γ̅ . Нека съберем началото на векторите ̅ и ̅ в точка A. Тогава векторите β̅ , γ̅ ще имат общо начало в точка A и според правилото на успоредника тяхната сума, т.е. вектор̅ ще бъде вектор с начало A и край, който е върха на успоредник, изграден върху вектори от членове. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. компланарен.
Нека векторите ̅ , ̅ , ̅ са компланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава е очевидно, че той ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейна комбинация да бъдат равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Нека съберем началото на тези вектори в обща точка O. Нека техните краища са съответно точки A, B, C (фиг. 2.1). През точка C начертаваме прави, успоредни на прави, минаващи през двойки точки O, A и O, B. Означавайки пресечните точки като A’ и B’, получаваме
успоредник OA’CB’, следователно = ′ + ′ . Вектор′ и ненулев вектор̅ | ||||||
са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на втория по | ||||||
реално число α: ′ = . По същия начин′ = , β R. В резултат на това получаваме, Какво |
||||||
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ | ||||||
= ′ + ′ , т.е. вектор̅ е линейна комбинация от вектори̅ и. Според теоремата |
||||||
̅ са линейно зависими. | ||||||
2.1 (за линейната зависимост на векторите), вектори ̅, | ||||||
2. Докажете теоремата за разлагането на вектор спрямо базис. | ||||||||
Теорема за разлагането на вектор спрямо базис. Ако = (̅ | – основа , ̅ | = (1, 2, 3), тогава |
||||||
има набор от числа ( | ...), така че̅= ̅̅̅ | ̅ + + ̅ ̅, където ( | ...) – координати |
|||||
вектор в основата.
Доказателство: (за i = 2)
(̅1, ̅2)– основа 2, ̅2
По дефиниция на пространство V2: x, e1, e2 са копланарни => (критерий за линейна зависимост на 3 вектора) => ̅ , ̅ 1, ̅ 2 са линейно зависими => 0 , 1 , 2 .
0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0
Случай 1: 0 = 0, тогава 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅,1 2 + 2 2 ≠ 0, което означава, че 1, 2 са линейно зависими (̅ 1, ̅ 2) – линейни. в зависимост ̅ 1 и ̅ 2 са колинеарни.
Случай 2: 0 ≠ 0
̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0
Доказано, че съществува.
Нека има 2 изгледа:
̅= 1 ̅1 +2 ̅2
Разлика:
0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => линейно зависим и това противоречи на дефиницията на a база.
3. Докажете свойството линейност на скаларното произведение.
Заедно с умножението по число, операцията скаларно умножение е асоциативна: (λ̅ )̅ =
λ(̅ ̅ ).
Скаларното умножение и събирането на вектори са свързани със свойството разпределение: (̅ +̅ )с̅
= ̅ с̅+ ̅ с̅.
Q.E.D.
4. Изведете формула за изчисляване на скаларното произведение на вектори, зададени в ортонормална база.
Извеждане на формула за изчисляване на скаларното произведение на вектори, зададени в ортонормална база.
Нека векторите ̅ и ̅ от3 са зададени чрез техните координати в ортонормалната основа, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Това означава, че има разширения̅ =̅ +̅ +̅,
̅ =̅ +̅ +̅ . Използвайки тях и свойствата на скаларното произведение, изчисляваме
̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )
= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .
Окончателният отговор е получен, като се вземе предвид фактът, че ортонормалността на основата,̅ ,̅
̅ означава равенствата ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . по този начин
̅ ̅ = + +
5. Изведете формула за изчисляване на векторното произведение на вектори, зададени в десен ортонормален базис.
Извеждане на формула за изчисляване на векторното произведение на вектори, зададени в ортонормална база.
Да разгледаме два вектора ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
и, дадени от техните координати в правилната ортонормална основа |
|||||||||||||||||||||||||||||
̅ = { | ). Тогава се извършват разширенията на тези вектори: ̅ =̅ +̅ |
||||||||||||||||||||||||||||
, ̅, ̅: | |||||||||||||||||||||||||||||
= ̅ +̅ + | |||||||||||||||||||||||||||||
Въз основа на тези | изявления | алгебричен | векторно умножение, | получаваме |
|||||||||||||||||||||||||
= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + | ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× + |
||||||||||||||||||||||||||||
̅ ̅ | |||||||||||||||||||||||||||||
× ̅+ × ̅+ | × = ( | )̅+ ( | )̅+ ( | ||||||||||||||||||||||||||
За да опростите получената формула, имайте предвид, че тя е подобна на формулата за разлагане на детерминанта от трети ред в 1-ви ред, само че вместо числови коефициенти има вектори. Следователно можем да запишем тази формула като детерминанта, която се изчислява по обичайните правила. Два реда от този детерминант ще се състоят от числа, а един от вектори. И така, формулата за изчисляване на векторното произведение в правилната ортонормална основа,̅ ,̅ ̅ може да бъде записана като:
6. Докажете свойството линейност на смесен продукт.
Използвайки свойствата на смесен продукт, може да се докаже линейността на вектор
продукти по първи фактор:
(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅
За това ще намерим точков продуктвектор от лявата страна на равенството и единичният вектор на стандартната основа. Като се вземе предвид линейността на смесения продукт по отношение на втория фактор,
получаваме
тези. Абсцисата на вектора от лявата страна на доказваното равенство е равна на абсцисата на вектора от дясната му страна. По подобен начин доказваме, че ординатите, както и апликациите, на векторите в двете страни на равенството са съответно равни. Следователно, това са равни вектори, тъй като техните координати спрямо стандартната основа съвпадат.
7. Изведете формула за изчисляване на смесеното произведение на три вектора в десен ортонормален базис.
Извеждане на формула за изчисляване на смесеното произведение на три вектора в десен ортонормален базис.
Нека векторите a, b, c са дадени чрез техните координати в десен ортонормален базис: ̅ = ( ; |
||||||||||||||||||||||||||||
), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). За да намерите техния смесен продукт, | ||||||||||||||||||||||||||||
Нека използваме формулите за изчисляване на скаларните и векторните продукти: | ||||||||||||||||||||||||||||
̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (| | ||||||||||||||||||||||||||||
8. Изведете формула за разстоянието от точка до равнина, дадено от общото уравнение.
Извеждане на формула за разстоянието от точка до равнина, зададена от общо уравнение.
Нека разгледаме в пространството някаква равнина π и произволна точка 0. Да изберем
за равнината, единичен нормален вектор n с начало в някаква точка 1 π и нека ρ(0,
тъй като | ̅ | = 1.
Ако равнината π е зададена в правоъгълна координатна система чрез нейното общо уравнение | |||||||||||
Ax + By + Cz + D = 0, тогава неговият нормален вектор е векторът с координати (A; B; C). | |||||||||||
Нека (0 , 0 , 0 ) и (1 , 1 , 1 ) са координатите на точките 0 | и 1. Тогава равенството е в сила | ||||||||||
A 1 +B1 +C1 +D = 0, тъй като точка M1 принадлежи на равнината и координатите могат да бъдат намерени | |||||||||||
̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||||||||
Вектор 1 0: | 1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) . Записване на скаларното произведение ̅ 1 0 |
||||||||||
координатна форма и трансформиране (5.8), получаваме | |||||||||||
| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )| | | 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )| | ||||||||||
2 + 2+ 2 | 2 + 2+ 2 | ||||||||||
= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2
тъй като 1 + 1 + 1 = − . Така че, за да изчислите разстоянието от точка до равнина, трябва да замените координатите на точката в общото уравнение на равнината и след това да разделите абсолютната стойност на резултата на нормализиращ коефициент, равен на дължината на съответния нормален вектор.
9. Изведете формула за разстоянието от точка до права в пространството.
Извеждане на формулата за разстоянието от точка до права в пространството.
Разстоянието от точка 1 (1, 1, 1) до правата L, дадено от каноничните уравнения L:− 0 = − 0 = − 0, може да се изчисли с помощта на векторното произведение. наистина
каноничните уравнения на правата ни дават точката 0 (0, 0, 0) на правата
и насочващият вектор ̅ = (l; m; n) на тази права. Нека построим успоредник върху векторите ̅ и ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Тогава разстоянието от точка 1 до права линия L ще бъде равно на височината h на успоредника (фиг. 6.6).
Това означава, че необходимото разстояние може да се изчисли по формулата
̅̅̅̅̅̅̅̅ | |||
(1 ,) = | | 0 1 × | |
||
10. Изведете формула за разстоянието между пресичащите се прави.
Извеждане на формулата за разстоянието между пресичащите се прави.
Разстоянието между пресичащите се линии може да се намери чрез смесени
работа. Нека прави линии 1 | и 2 | канонични уравнения. Тъй като те |
|
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
се пресичат, техните насочващи вектори 1 , 2 и вектор 1 2 , свързващи точките на правите, са некомпланарни. Следователно върху тях може да се построи паралелепипед (фиг. 6.7).
Тогава разстоянието между правите е равно на височината h на този паралелепипед. От своя страна височината на паралелепипеда може да се изчисли като съотношението на обема на паралелепипеда към площта на неговата основа. Обемът на паралелепипеда е равен на модула на смесения продукт на трите посочени вектора, а площта на паралелограма в основата на паралелепипеда е равна на модула на векторния продукт на насочващите вектори на правите . В резултат на това получаваме формулата за разстоянието
(1, 2) между редовете: | ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ |
||
(1 ,2 ) = | | 1 2 | 1 2| |
|
|
Какво е вектор? Концепцията за вектор възниква, когато трябва да се занимаваме с обекти, които се характеризират с величина и посока: например скорост, сила, налягане. Такива величини се наричат векторни величини или вектори. Концепцията за вектор възниква, когато трябва да се занимаваме с обекти, които се характеризират с величина и посока: например скорост, сила, налягане. Такива величини се наричат векторни величини или вектори.
Понятие за вектор Да разгледаме произволен сегмент. На него можете да посочите две посоки. За да изберем една от посоките, ще наречем единия край на отсечката НАЧАЛО, а другия КРАЙ и ще приемем, че отсечката е насочена от началото към края. Определение. Определение. Сегмент, за който е посочено кой от краищата му се счита за начало и кой е край, се нарича насочен сегмент или вектор. Сегмент, за който е посочено кой от краищата му се счита за начало и кой е край, се нарича насочен сегмент или вектор.
Концепцията за вектор Векторите често се означават с една малка буква латиницасъс стрелка над нея: Векторите често се означават с една малка латинска буква със стрелка над нея: Всяка точка от равнината също е вектор, което се нарича НУЛА. Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край: Всяка точка от равнината също е вектор, който се нарича НУЛА. Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край: MM = 0. MM = 0. a b c M
Понятие за вектор Дължината или модулът на ненулев вектор AB е дължината на отсечката AB: Дължината или модулът на ненулев вектор AB е дължината на отсечката AB: AB = a = AB = 5 AB = a = AB = 5 s = 17 s = 17 Дължината на нулевия вектор се счита за равна на нула : Дължината на нулевия вектор се счита за равна на нула: MM = 0. MM = 0. a M VA s
Колинеарни вектори Ненулевите вектори се наричат колинеарни, ако лежат на една права или на успоредни прави. Колинеарните вектори могат да бъдат еднопосочни или противоположно насочени. Ненулевите вектори се наричат колинеарни, ако лежат или на една права, или на успоредни прави. Колинеарните вектори могат да бъдат еднопосочни или противоположно насочени. Нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор. Нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор. а b c d m n s L
Отлагане на вектор от дадена точка Ако точка А е началото на вектор а, тогава те казват, че вектор а е отложен от точка А. Ако точка А е началото на вектор а, тогава те казват, че вектор а е отложен от точка А Твърдение: От всяка точка M можете да отделите вектор, равен на дадения вектор a, и то само един. Твърдение: От всяка точка M можете да начертаете вектор, равен на даден вектор a, и то само един. Еднаквите вектори, начертани от различни точки, често се означават с една и съща буква Равните вектори, начертани от различни точки, често се означават с една и съща буква A a M a
Сума от два вектора Разгледайте пример: Разгледайте пример: Петя отиде от дома (D) до Вася (V), а след това отиде на кино (K). Петя отиде от дома (D) до Вася (V), а след това отиде на кино (K). В резултат на тези две движения, които могат да бъдат представени с векторите DV и VK, Петя се премести от точка D в точка K, т.е. към вектор DK: В резултат на тези две движения, които могат да бъдат представени с вектори DV и VK, Петя се премести от точка D в K, т.е. към вектор DK: DK=DB+BK. DK=DB+BK. Векторът DK се нарича сбор от векторите DB и BK. Д В К
Сума от два вектора Правило на триъгълника Нека a и b са два вектора. Нека отбележим произволна точка A и да начертаем AB = a от тази точка, след това да начертаем вектора BC = b от точка B. Нека a и b са два вектора. Нека отбележим произволна точка A и да начертаем AB = a от тази точка, след това да начертаем вектора BC = b от точка B. AC = a + b AC = a + b a b A a b B C
Определение за векторно изваждане. Разликата на два вектора a и b е вектор, чиято сума с вектор b е равна на вектор a. Определение. Разликата на два вектора a и b е вектор, чиято сума с вектор b е равна на вектор a. Теорема. За всякакви вектори a и b е вярно равенството a - b = a + (-b). Задача. Дадени са вектори a и b. Конструирайте вектор a – b. a a b -b a - b
1.1. За да поддържа бизнес репутация и да гарантира спазването на федералното законодателство, Федералната държавна институция Държавен научноизследователски институт по технологии "Информика" (наричана по-долу Компанията) счита най-важната задачаосигуряване на легитимността на обработката и сигурността на личните данни на субектите в бизнес процесите на Дружеството. 1.2. За решаването на този проблем Дружеството е въвело, работи и подлага на периодичен преглед (мониторинг) система за защита на личните данни. 1.3. Обработването на лични данни в Дружеството се основава на следните принципи: Законосъобразността на целите и методите за обработка на личните данни и целостта; Съответствие на целите за обработване на лични данни с целите, предварително определени и заявени при събирането на лични данни, както и с правомощията на Дружеството; Съответствие на обема и естеството на обработваните лични данни, методите за обработване на личните данни на целите за обработване на лични данни; Надеждността на личните данни, тяхната уместност и достатъчност за целите на обработването, недопустимостта на прекомерно обработване на лични данни по отношение на целите на събиране на лични данни; Легитимността на организационните и технически мерки за гарантиране сигурността на личните данни; Непрекъснато подобряване на нивото на познания на служителите на Дружеството в областта на гарантиране на сигурността на личните данни при обработването им; Стремеж към непрекъснато подобряване на системата за защита на личните данни. 2. Цели на обработване на лични данни 2.1. В съответствие с принципите за обработване на лични данни, Дружеството е определило състава и целите на обработването. Цели на обработване на лични данни: Сключване, поддръжка, промяна, прекратяване трудови договори, които са основание за възникване или прекратяване на трудови правоотношения между Дружеството и неговите служители; Предоставяне на портал и услуги личен акаунтза ученици, родители и учители; Съхранение на резултатите от обучението; Изпълнение на задълженията, предвидени от федералното законодателство и други нормативни правни актове; 3. Правила за обработка на лични данни 3.1. Дружеството обработва само онези лични данни, които са представени в одобрения Списък на личните данни, обработвани във Федералната държавна автономна институция Държавен научноизследователски институт по технологии "Информика" 3.2. Дружеството не разрешава обработването на следните категории лични данни: раса; Философски вярвания; За здравословното състояние; Състояние на интимния живот; националност; Религиозни вярвания. 3.3. Компанията не обработва биометрични лични данни (информация, която характеризира физиологичните и биологични особеностилице, въз основа на което може да се установи самоличността му). 3.4. Компанията не извършва трансграничен трансфер на лични данни (прехвърляне на лични данни на територията чужда странаорган на чужда държава, чужд на физическо лицеили чуждестранно юридическо лице). 3.5. Дружеството забранява вземането на решения относно субектите на лични данни, основаващи се единствено на автоматизирана обработка на техните лични данни. 3.6. Компанията не обработва данни за криминални досиета на субектите. 3.7. Компанията не публикува лични данни на субекта в публично достъпни източници без неговото предварително съгласие. 4. Въведени изисквания за гарантиране сигурността на личните данни 4.1. С цел гарантиране на сигурността на личните данни при обработването им, Дружеството прилага следните изисквания: нормативни документиРуската федерация в областта на обработката и гарантирането на сигурността на личните данни: Федерален законот 27 юли 2006 г. № 152-FZ „За личните данни“; Правителствен указ руска федерацияот 1 ноември 2012 г. N 1119 „За одобряване на изискванията за защита на личните данни по време на тяхната обработка в информационни системилични данни“; Указ на правителството на Руската федерация от 15 септември 2008 г. № 687 „За одобряване на Правилника за спецификата на обработката на лични данни, извършвана без използване на средства за автоматизация“; Заповед на FSTEC на Русия от 18 февруари 2013 г. N 21 „За одобряване на състава и съдържанието на организационни и технически мерки за осигуряване на сигурността на личните данни по време на тяхната обработка в информационни системи за лични данни“; Базов модел на заплахи за сигурността на личните данни по време на тяхната обработка в информационни системи за лични данни (одобрен от заместник-директора на FSTEC на Русия на 15 февруари 2008 г.); Методика за определяне на текущите заплахи за сигурността на личните данни по време на тяхната обработка в информационните системи за лични данни (одобрена от заместник-директора на FSTEC на Русия на 14 февруари 2008 г.). 4.2. Компанията оценява вредата, която може да бъде причинена на субектите на лични данни и идентифицира заплахи за сигурността на личните данни. В съответствие с идентифицираните настоящи заплахи, Дружеството прилага необходимите и достатъчни организационни и технически мерки, включително използването на инструменти за информационна сигурност, откриване на неоторизиран достъп, възстановяване на лични данни, установяване на правила за достъп до лични данни, както и наблюдение и оценка на ефективността на прилаганите мерки. 4.3. Дружеството е назначило лица, отговорни за организирането на обработката и гарантирането на сигурността на личните данни. 4.4. Ръководството на Дружеството осъзнава необходимостта и е заинтересовано да осигури адекватно ниво на сигурност на личните данни, обработвани като част от основната дейност на Дружеството, както по отношение на изискванията на нормативните документи на Руската федерация, така и оправдано от гледна точка за оценка на бизнес рисковете. | |||
