В този урок всеки ще може да изучава темата „ Правоъгълен паралелепипед" В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(фиг. 1).

ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).

ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

ориз. 3 Прав паралелепипед

И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.

така че кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.

AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.

Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратен диагонал на кубоид равно на суматаквадрати на неговите три измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат ​​дължина, ширина, височина.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажете: .

ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Нека помислим правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. След това:

защото , А , Това. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

В геометрията ключовите понятия са равнина, точка, права линия и ъгъл. Използвайки тези термини, можете да опишете всяка геометрична фигура. Полиедрите обикновено се описват от гледна точка на по-прости фигури, които лежат в една и съща равнина, като кръг, триъгълник, квадрат, правоъгълник и др. В тази статия ще разгледаме какво е паралелепипед, ще опишем видовете паралелепипед, неговите свойства, от какви елементи се състои, а също така ще дадем основните формули за изчисляване на площта и обема за всеки тип паралелепипед.

Определение

Паралелепипед в триизмерно пространствое призма, всички страни на която са успоредници. Съответно, той може да има само три двойки успоредни паралелограми или шест лица.

За да си представите паралелепипед, представете си обикновен стандартна тухла. Тухла - добър примерправоъгълен паралелепипед, който дори дете може да си представи. Други примери включват многоетажни панелни къщи, шкафове, съдове за съхранение на храна с подходяща форма и др.

Разновидности на фигурата

Има само два вида паралелепипеди:

1. Правоъгълник, всички странични стени на който са под ъгъл 90° спрямо основата и са правоъгълници.
2. Наклонени, чиито странични ръбове са разположени под определен ъгъл спрямо основата.

На какви елементи може да се раздели тази фигура?

• Точно като всяка друга геометрична фигура, в паралелепипеда, всеки 2 лица с общ ръб се наричат ​​съседни, а тези, които го нямат, са успоредни (въз основа на свойството на успоредник, който има двойки успоредни противоположни страни).
• Върховете на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице, се наричат ​​противоположни.
• Сегментът, свързващ такива върхове, е диагонал.
• Дължините на трите ръба на кубоид, които се срещат в един връх, са неговите размери (а именно неговата дължина, ширина и височина).

Свойства на формата

1. Винаги се изгражда симетрично спрямо средата на диагонала.
2. Пресечната точка на всички диагонали разделя всеки диагонал на два равни сегмента.
3. Противоположните лица са равни по дължина и лежат на успоредни прави.
4. Ако добавите квадратите на всички размери на паралелепипед, получената стойност ще бъде равна на квадрата на дължината на диагонала.

Формули за изчисление

Формулите за всеки отделен случай на паралелепипед ще бъдат различни.

За произволен паралелепипед е вярно, че обемът му е равен на абсолютната стойност на тройно точков продуктвектори от три страни, излизащи от един връх. Въпреки това, няма формула за изчисляване на обема на произволен паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед се прилагат следните формули:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - обем на фигурата;
• Sb - странична повърхност;
• Sp - площ пълна повърхност;
• а - дължина;
• b - ширина;
• c - височина.

Друг специален случай на паралелепипед, в който всички страни са квадрати, е куб. Ако някоя от страните на квадрата е обозначена с буквата a, тогава могат да се използват следните формули за площта и обема на тази фигура:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- площ на фигурата,
• V е обемът на фигурата,
• a е дължината на лицето на фигурата.

Последният тип паралелепипед, който разглеждаме, е прав паралелепипед. Каква е разликата между прав паралелепипед и кубоид, питате вие. Факт е, че основата на правоъгълен паралелепипед може да бъде всеки паралелограм, но основата на прав паралелепипед може да бъде само правоъгълник. Ако означим периметъра на основата, равен на сбора от дължините на всички страни, като Po, а височината с буквата h, имаме право да използваме следните формули, за да изчислим обема и площите на общия и странични повърхности.

Когато бяхте малки и играехте с кубчета, може би сте правили фигурите, показани на фигура 154. Тези цифри дават представа за правоъгълен паралелепипед. Например кутия шоколадови бонбони, тухла, кибритена кутия, опаковъчна кутия и кутия за сок имат формата на правоъгълен паралелепипед.

Фигура 155 показва правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Правоъгълният паралелепипед е ограничен от шест ръбове. Всяко лице е правоъгълник, т.е. Повърхнината на правоъгълен паралелепипед се състои от шест правоъгълника.

Страните на лицата се наричат ръбове на правоъгълен паралелепипед, върхове на лица − върхове на правоъгълен паралелепипед. Например сегментите AB, BC, A 1 B 1 са ръбове, а точките B, A 1, C 1 са върхове на паралелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (фиг. 155).

Правоъгълният паралелепипед има 8 върха и 12 ръба.

Лицата AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C нямат общи върхове. Такива ръбове се наричат противоположност. В паралелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 има още две двойки противоположни лица: правоъгълници ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, както и правоъгълници AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C.

Противоположните страни на правоъгълен паралелепипед са равни.

На фигура 155 се нарича лицето ABCD базаправоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Площта на паралелепипеда е сумата от площите на всичките му лица.

За да имате представа за размерите на правоъгълен паралелепипед, достатъчно е да разгледате всеки три ръба, които имат общ връх. Дължините на тези ръбове се наричат измерванияправоъгълен паралелепипед. За да ги разграничат, те използват имена: дължина, ширина, височина(фиг. 156).

Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички размери са равни куб(фиг. 157). Повърхността на куба се състои от шест равни квадрата.

Ако кутия с формата на правоъгълен паралелепипед се отвори (фиг. 158) и се разреже по четири вертикални ръба (фиг. 159) и след това се разгъне, се получава фигура, състояща се от шест правоъгълника (фиг. 160). Тази фигура се нарича развитие на правоъгълен паралелепипед.

Фигура 161 показва фигура, състояща се от шест равни квадрата. Това е мрежа от куб.

С помощта на разработка можете да направите модел на правоъгълен паралелепипед.

Това може да стане, например, така. Начертайте очертанията му на хартия. Изрежете го, огънете го по сегментите, съответстващи на ръбовете на правоъгълния паралелепипед (вижте фиг. 159), и го залепете заедно.

Правоъгълният паралелепипед е вид полиедър - фигура, чиято повърхност се състои от многоъгълници. Фигура 162 показва полиедри.

Един вид полиедър е пирамида.

Тази цифра не е нова за вас. Изучаване на курса Древен свят, вие се запознахте с едно от седемте чудеса на света - египетските пирамиди.

Фигура 163 показва пирамидите MABC, MABCD, MABCDE. Повърхността на пирамидата се състои от странични лица− триъгълници с общ връх, и основания(фиг. 164). Общият връх на страничните лица се нарича ръбовете на основата на пирамидата, а страните на страничните лица, които не принадлежат на основата, са странични ръбове на пирамидата.

Пирамидите могат да бъдат класифицирани според броя на страните на основата: триъгълни, четириъгълни, петоъгълни (виж фиг. 163) и др.

Повърхност триъгълна пирамидасе състои от четири триъгълника. Всеки от тези триъгълници може да служи като основа на пирамида. Тази основа е вид пирамида, всяко лице на която може да служи като основа.

Фигура 165 показва фигура, която може да служи помете четириъгълна пирамида . Състои се от квадрат и четири равни равнобедрени триъгълника.

Фигура 166 показва фигура, състояща се от четири еднакви равностранни триъгълника. Използвайки тази фигура, можете да направите модел на триъгълна пирамида, чиито лица са равностранни триъгълници.

Полиедрите са примери геометрични тела.

Фигура 167 показва познати геометрични тела, които не са полиедри. Ще научиш повече за тези тела в 6. клас.

Ще бъде полезно за гимназистите да се научат да решават Задачи за единен държавен изпитда намерите обема и други неизвестни параметри на правоъгълен паралелепипед. Опитът от предишни години потвърждава факта, че подобни задачи са доста трудни за много възпитаници.

В същото време учениците от гимназията с всякакво ниво на обучение трябва да разберат как да намерят обема или площта на правоъгълен паралелепипед. Само в този случай те ще могат да разчитат на получаване на състезателни оценки въз основа на резултатите от полагането на единния държавен изпит по математика.

Ключови точки, които трябва да запомните

• Паралелограмите, които образуват паралелепипеда, са неговите лица, техните страни са неговите ръбове. Върховете на тези фигури се считат за върхове на самия полиедър.
• Всички диагонали на правоъгълен паралелепипед са равни. Тъй като това е прав полиедър, страничните стени са правоъгълници.
• Тъй като паралелепипедът е призма с паралелограм в основата си, тази фигура има всички свойства на призма.
• Страничните ръбове на правоъгълен паралелепипед са перпендикулярни на основата. Следователно те са неговите висини.

Пригответе се за Единния държавен изпит с Школково!

За да направите часовете си лесни и възможно най-ефективни, изберете нашия математически портал. Тук ще намерите всички необходим материал, които ще се изискват на етапа на подготовка за единния държавен изпит.

Специалистите от образователния проект Школково предлагат да се премине от просто към сложно: първо даваме теория, основни формули и елементарни проблеми с решения, а след това постепенно да преминем към задачи на експертно ниво. Можете да практикувате, например, с .

Необходимата основна информация ще намерите в раздела „Теоретична информация”. Можете също така веднага да започнете да решавате задачи по темата „Правоъгълен паралелепипед“ онлайн. Разделът „Каталог“ представя голям избор от упражнения в различна степенсложност. Базата данни със задачи се актуализира редовно.

Вижте дали можете лесно да намерите обема на правоъгълен паралелепипед точно сега. Анализирайте всяка задача. Ако упражнението ви е лесно, преминете към по-трудни задачи. И ако възникнат определени трудности, препоръчваме ви да планирате деня си по такъв начин, че вашият график да включва класове с отдалечения портал на Школково.