В тази статия ще ви покажем как да давате дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл и число в тригонометрията. Тук ще говорим за нотации, ще дадем примери за записи и ще дадем графични илюстрации. В заключение, нека направим паралел между дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията и геометрията.
Навигация в страницата.
Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс
Нека да видим как се формира идеята за синус, косинус, тангенс и котангенс в училищен курс по математика. В уроците по геометрия се дава определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. И по-късно се изучава тригонометрията, която говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане и число. Нека представим всички тези определения, да дадем примери и да дадем необходимите коментари.
Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
От курса по геометрия знаем дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Те са дадени като отношение на страните на правоъгълен триъгълник. Нека дадем техните формулировки.
Определение.
Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на срещуположната страна към хипотенузата.
Определение.
Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния катет към хипотенузата.
Определение.
Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник– това е отношението на противоположната страна към съседната страна.
Определение.
Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Там са въведени и обозначенията за синус, косинус, тангенс и котангенс - съответно sin, cos, tg и ctg.
Например, ако ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, тогава синусът на острия ъгъл A е равен на отношението на противоположната страна BC към хипотенузата AB, тоест sin∠A=BC/AB.
Тези определения ви позволяват да изчислите стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл от известните дължини на страните на правоъгълен триъгълник, както и от известни стойностинамерете дължините на другите страни, като използвате синус, косинус, тангенс, котангенс и дължината на една от страните. Например, ако знаем, че в правоъгълен триъгълник катетът AC е равен на 3, а хипотенузата AB е равна на 7, тогава бихме могли да изчислим стойността на косинуса на острия ъгъл A по дефиниция: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Ъгъл на завъртане
В тригонометрията започват да разглеждат ъгъла по-широко - въвеждат понятието ъгъл на завъртане. Големината на ъгъла на завъртане, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса, ъгълът на завъртане в градуси (и в радиани) може да бъде изразен с всяко реално число от −∞ до +∞.
В тази светлина дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс са дадени не на остър ъгъл, а на ъгъл с произволна големина - ъгълът на завъртане. Те са дадени чрез координатите x и y на точката A 1, към която т. нар. начална точка A(1, 0) отива след завъртането й на ъгъл α около точка O - началото на правоъгълната декартова координатна система и центъра на единичната окръжност.
Определение.
Синус на ъгъла на завъртанеα е ординатата на точка A 1, тоест sinα=y.
Определение.
Косинус на ъгъла на завъртанеα се нарича абсцисата на точка A 1, тоест cosα=x.
Определение.
Тангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на ординатата на точка A 1 към нейната абциса, т.е. tanα=y/x.
Определение.
Котангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на абсцисата на точка A 1 към нейната ордината, т.е. ctgα=x/y.
Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α, тъй като винаги можем да определим абсцисата и ординатата на точката, която се получава чрез завъртане на началната точка под ъгъл α. Но тангенсът и котангенсът не са определени за нито един ъгъл. Тангентата не е дефинирана за ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева абциса (0, 1) или (0, −1), и това се случва при ъгли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Наистина, при такива ъгли на въртене изразът tgα=y/x няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Що се отнася до котангенса, той не е дефиниран за ъгли α, при които началната точка отива към точката с нулева ордината (1, 0) или (−1, 0), и това се случва за ъгли 180° k, k ∈Z (π·k рад).
И така, синус и косинус са дефинирани за всички ъгли на завъртане, тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Дефинициите включват вече познатите ни обозначения sin, cos, tg и ctg, те също се използват за обозначаване на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене (понякога можете да намерите обозначенията tan и cot, съответстващи на тангенса и котангенса) . Така че синусът на ъгъл на въртене от 30 градуса може да бъде записан като sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα съответстват на тангенса на ъгъла на въртене −24 градуса 17 минути и котангенса на ъгъла на въртене α . Спомнете си, че когато пишете радианова мярка на ъгъл, обозначението „рад“ често се пропуска. Например, косинусът на ъгъл на завъртане от три pi rad обикновено се означава с cos3·π.
В заключение на тази точка си струва да се отбележи, че когато се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене, фразата „ъгъл на въртене“ или думата „въртене“ често се пропуска. Тоест, вместо фразата „синус на ъгъла на завъртане алфа“, обикновено се използва фразата „синус на ъгъла алфа“ или, дори по-кратко, „синус алфа“. Същото важи и за косинус, тангенс и котангенс.
Ще кажем също, че дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник са в съответствие с току-що дадените дефиниции за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл на завъртане, вариращ от 0 до 90 градуса. Ние ще оправдаем това.
Числа
Определение.
Синус, косинус, тангенс и котангенс на число t е число, равно на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в t радиани, съответно.
Например косинусът на числото 8·π по дефиниция е число, равно на косинуса на ъгъла 8·π rad. А косинусът на ъгъла е 8 π rad равно на едно, следователно косинусът на числото 8·π е равен на 1.
Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Състои се в това, че всяко реално число t се свързва с точка от единичната окръжност с център в началото на правоъгълната координатна система, а синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка. Нека разгледаме това по-подробно.
Нека покажем как се установява съответствие между реални числа и точки от окръжност:
- на числото 0 се задава начална точка A(1, 0);
- положителното число t е свързано с точка от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка в посока обратна на часовниковата стрелка и да вървим по пътядължина t;
- отрицателно число t е свързан с точката на единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка по посока на часовниковата стрелка и извървим път с дължина |t| .
Сега преминаваме към дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на числото t. Да приемем, че числото t съответства на точка от окръжността A 1 (x, y) (например числото &pi/2; съответства на точка A 1 (0, 1) ).
Определение.
Синус от числото t е ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест sint=y.
Определение.
Косинус на числото t се нарича абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест cost=x.
Определение.
Тангенс на числото t е отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. tgt=y/x. В друга еквивалентна формулировка тангенсът на число t е отношението на синуса на това число към косинуса, т.е. tgt=sint/cost.
Определение.
Котангенс на числото t е отношението на абсцисата към ординатата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест ctgt=x/y. Друга формулировка е следната: тангенсът на числото t е отношението на косинуса на числото t към синуса на числото t: ctgt=cost/sint.
Тук отбелязваме, че току-що дадените определения са в съответствие с определението, дадено в началото на този параграф. Наистина, точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, съвпада с точката, получена чрез завъртане на началната точка на ъгъл от t радиана.
Все още си струва да се изясни тази точка. Да кажем, че имаме запис sin3. Как да разберем дали говорим за синус на числото 3 или за синус на ъгъла на завъртане от 3 радиана? Това обикновено е ясно от контекста, в противен случай вероятно не е от фундаментално значение.
Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент
Съгласно дефинициите, дадени в предходния параграф, всеки ъгъл на завъртане α съответства на много специфична стойност sinα, както и на стойността cosα. В допълнение, всички ъгли на въртене, различни от 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) съответстват на стойностите на tgα, а стойностите, различни от 180°k, k∈Z (πk rad ) – стойности на ctgα. Следователно sinα, cosα, tanα и ctgα са функции на ъгъла α. С други думи, това са функции на ъгловия аргумент.
Можем да говорим по подобен начин за функциите синус, косинус, тангенс и котангенс на числов аргумент. Наистина, всяко реално число t съответства на много специфична стойност sint, както и цена. Освен това всички числа, различни от π/2+π·k, k∈Z, съответстват на стойности tgt, а числата π·k, k∈Z - стойности ctgt.
Функциите синус, косинус, тангенс и котангенс се наричат основен тригонометрични функции .
Обикновено от контекста става ясно дали имаме работа с тригонометрични функции на ъглов аргумент или числен аргумент. В противен случай можем да мислим за независимата променлива както като мярка на ъгъла (ъглов аргумент), така и като числов аргумент.
В училище обаче основно учат числови функции, тоест функции, чиито аргументи, както и съответните им стойности на функцията, са числа. Следователно, ако говорим конкретно за функции, тогава е препоръчително да разглеждаме тригонометричните функции като функции на числови аргументи.
Връзка между определения от геометрията и тригонометрията
Ако разгледаме ъгъла на завъртане α в диапазона от 0 до 90 градуса, тогава дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в контекста на тригонометрията са напълно съвместими с определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, които са дадени в курса по геометрия. Нека оправдаем това.
Нека изобразим единичната окръжност в правоъгълната декартова координатна система Oxy. Нека отбележим началната точка A(1, 0) . Нека го завъртим на ъгъл α, вариращ от 0 до 90 градуса, получаваме точка A 1 (x, y). Нека пуснем перпендикуляра A 1 H от точка A 1 към оста Ox.
Лесно се вижда, че в правоъгълен триъгълник ъгъл A 1 OH равен на ъгълротация α, дължината на крака OH, съседен на този ъгъл, е равна на абсцисата на точка A 1, т.е. |OH|=x, дължината на крака A 1 H срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1, тоест |A 1 H|=y, а дължината на хипотенузата OA 1 е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност. Тогава, по дефиниция от геометрията, синусът на острия ъгъл α в правоъгълен триъгълник A 1 OH е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата, тоест sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниция от тригонометрията, синусът на ъгъла на завъртане α е равен на ординатата на точка A 1, тоест sinα=y. Това показва, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, когато α е от 0 до 90 градуса.
По подобен начин може да се покаже, че дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл α са в съответствие с дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане α.
Референции.
- Геометрия. 7-9 клас: учебник за общо образование институции / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-то изд. М.: Образование, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорелов А.В.Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ро изд.: Образование, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра и елементарни функции: Урокза ученици от 9 клас гимназия/ Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцията на доктора на физико-математическите науки О. Н. Головин 4-то изд. М.: Образование, 1969.
- Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
- Мордкович А. Г.Алгебра и началото на анализа. 10 клас. На 2 т. Част 1: урок за образователни институции (ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - I.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-високо училище, 1984.-351 с., ил.
Тригонометрията е дял от математическата наука, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.
Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.
Дефиниции на тригонометрични функции
Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.
Косинус на ъгъла (cos α) - отношението на съседния катет към хипотенузата.
Ъгъл тангенс (t g α) - отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседната страна към противоположната страна.
Тези определения са дадени за острия ъгъл на правоъгълен триъгълник!
Нека дадем илюстрация.
В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.
Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.
Важно е да запомните!
Диапазонът от стойности на синуса и косинуса е от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът от стойности на тангенса и котангенса е цялата числова линия, това означава, че тези функции могат да приемат всякакви стойности.
Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за острите ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса. Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞. .
В този контекст можем да дефинираме синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Нека си представим единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.
Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на определен ъгъл α и отива в точка A 1. Дефиницията е дадена по отношение на координатите на точка A 1 (x, y).
Синус (sin) на ъгъла на завъртане
Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точка A 1 (x, y). sin α = y
Косинус (cos) на ъгъла на завъртане
Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x
Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане
Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x
Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане
Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y
Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл на завъртане. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната е недефинирана, когато точка след въртене отива към точка с нулева абциса (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точка отива към нула.
Важно е да запомните!
Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.
Тангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
При решаване практически примерине казвайте "синус от ъгъла на завъртане α". Думите „ъгъл на въртене“ просто са пропуснати, което означава, че вече е ясно от контекста какво се обсъжда.
Числа
Какво ще кажете за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?
Синус, косинус, тангенс, котангенс на число
Синус, косинус, тангенс и котангенс на число tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в tрадиан.
Например синусът на числото 10 π е равен на синуса на ъгъла на завъртане от 10 π rad.
Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-отблизо.
Всяко реално число tточка от единичната окръжност е свързана с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка.
Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).
Положително число t
Отрицателно число tсъответства на точката, до която ще стигне началната точка, ако се движи около кръга обратно на часовниковата стрелка и измине пътя t.
Сега, след като връзката между число и точка от окръжност е установена, преминаваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.
Синус (грех) на t
Синус от число t- ордината на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t. sin t = y
Косинус (cos) от t
Косинус на число t- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t. cos t = x
Тангенс (tg) на t
Тангенс на число t- отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t. t g t = y x = sin t cos t
Последните определения са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този параграф. Посочете кръга, съответстващ на числото t, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл tрадиан.
Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент
Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) съответстват на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както е посочено по-горе, е дефиниран за всички α с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.
По подобен начин можем да говорим за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числен аргумент. Всяко реално число tсъответства на определена стойност на синуса или косинуса на число t. Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на допирателна стойност. По подобен начин котангенсът е дефиниран за всички числа с изключение на π · k, k ∈ Z.
Основни функции на тригонометрията
Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.
Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.
Нека се върнем към дефинициите, дадени в самото начало и алфа ъгъла, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните определения на синус, косинус, тангенс и котангенс са напълно съвместими с геометрични определения, дадено с помощта на пропорциите на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.
Нека вземем единична окръжност с център в правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и да начертаем перпендикуляр на абсцисната ос от получената точка A 1 (x, y). В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точката A 1 (x, y). Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.
В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъл α е равен на съотношението на срещуположната страна към хипотенузата.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.
По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до геометрията. Таблици за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерни калкулатори, не винаги е под ръка, а изчисляването на синуса понякога е необходимо за решаване на различни проблеми. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидирането на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.
Игри с линийка и молив
Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дългата страна - хипотенузата. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.
Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да зададете радиус на компаса, приблизително равен на разстоянието между точките, и да нарисувате полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.
В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойност на синуса на острия ъгъл.
Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°
За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Трябва да начертаем лъч от върха в обратна посока с помощта на линийка, за да образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. Полученият остър ъгъл трябва да се третира, както е описано по-горе, синуси съседни ъгли, образуващи заедно обратен ъгъл от 180°, са равни.
Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции
Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Те ще ни помогнат с това тригонометрични тъждества. Нека да разгледаме общи примери.
Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.
Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първата тригонометрична идентичност и чрез прости манипулации редуцираме уравнението до изчисляване на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса трябва да извлечете корена на получения резултат.
Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, обратна на тангенса относително към числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също да изведете директна формула по аналогия с тангенса, която ще изглежда така.
Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник
Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен триъгълник, от две известни страни, като се използва тригонометричната функция на косинуса на противоположния ъгъл. Тя изглежда така.
Понятията синус, косинус, тангенс и котангенс са основните категории на тригонометрията, клон на математиката, и са неразривно свързани с определението за ъгъл. Овладяването на тази математическа наука изисква запаметяване и разбиране на формули и теореми, както и развито пространствено мислене. Ето защо тригонометричните изчисления често създават трудности за ученици и студенти. За да ги преодолеете, трябва да се запознаете по-добре с тригонометричните функции и формули.
Понятия в тригонометрията
Да разбереш основни понятиятригонометрия, първо трябва да решите какво представляват правоъгълен триъгълник и ъгъл в кръг и защо всички основни тригонометрични изчисления са свързани с тях. Триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса, е правоъгълен. В исторически план тази фигура често се използва от хора в областта на архитектурата, навигацията, изкуството и астрономията. Съответно, изучавайки и анализирайки свойствата на тази фигура, хората стигнаха до изчисляването на съответните съотношения на нейните параметри.
Основните категории, свързани с правоъгълните триъгълници, са хипотенузата и катетите. Хипотенуза - противоположната страна на триъгълник прав ъгъл. Краката, съответно, са другите две страни. Сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180 градуса.
Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който не се изучава в училище, а в приложни наукикато астрономия и геодезия, учените го използват. Особеността на триъгълника в сферичната тригонометрия е, че той винаги има сума от ъгли, по-големи от 180 градуса.
Ъгли на триъгълник
В правоъгълен триъгълник синусът на ъгъл е съотношението на катета срещу желания ъгъл към хипотенузата на триъгълника. Съответно косинусът е отношението на съседния катет и хипотенузата. И двете стойности винаги имат величина, по-малка от единица, тъй като хипотенузата винаги е по-дълга от крака.
Тангенсът на ъгъл е стойност, равна на съотношението на противоположната страна към съседната страна на желания ъгъл или синус към косинус. Котангенсът от своя страна е съотношението на съседната страна на желания ъгъл към противоположната страна. Котангенсът на ъгъл може да се получи и чрез разделяне на едно на стойността на тангенса.
Единична окръжност
Единична окръжност в геометрията е окръжност, чийто радиус е равен на единица. Такава окръжност се конструира в декартова координатна система, като центърът на окръжността съвпада с началната точка, а началната позиция на радиус вектора се определя по положителната посока на оста X (абсцисната ос). Всяка точка от окръжността има две координати: XX и YY, тоест координатите на абсцисата и ординатата. Избирайки която и да е точка от окръжността в равнината ХХ и пускайки перпендикуляр от нея към абсцисната ос, получаваме правоъгълен триъгълник, образуван от радиуса към избраната точка (означен с буквата C), перпендикулярът, прекаран към оста X (пресечната точка е означена с буквата G), а отсечката по абсцисната ос е между началото на координатите (точката е означена с буквата A) и пресечната точка G. Полученият триъгълник ACG е правоъгълен триъгълник, вписан в окръжност, където AG е хипотенузата, а AC и GC са катетите. Ъгълът между радиуса на окръжността AC и сегмента на абсцисната ос с обозначение AG се определя като α (алфа). И така, cos α = AG/AC. Като се има предвид, че AC е радиусът на единичната окръжност и е равен на единица, излиза, че cos α=AG. По същия начин sin α=CG.
Освен това, като знаете тези данни, можете да определите координатата на точка C в окръжността, тъй като cos α=AG и sin α=CG, което означава, че точка C има дадените координати (cos α;sin α). Знаейки, че тангенсът е равен на отношението на синус към косинус, можем да определим, че tan α = y/x и cot α = x/y. Като разглеждате ъглите в отрицателна координатна система, можете да изчислите, че стойностите на синуса и косинуса на някои ъгли могат да бъдат отрицателни.
Изчисления и основни формули
Стойности на тригонометрична функция
След като разгледахме същността на тригонометричните функции през единичната окръжност, можем да извлечем стойностите на тези функции за някои ъгли. Стойностите са посочени в таблицата по-долу.
Най-простите тригонометрични тъждества
Уравнения, в които има неизвестна стойност под знака на тригонометричната функция, се наричат тригонометрични. Тъждества със стойност sin x = α, k - всяко цяло число:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, няма решения.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Идентичности със стойност cos x = a, където k е всяко цяло число:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, няма решения.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Идентичности със стойност tg x = a, където k е всяко цяло число:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Идентичности със стойност ctg x = a, където k е всяко цяло число:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Формули за намаляване
Тази категория постоянни формули обозначава методи, с които можете да преминете от тригонометрични функции на формата към функции на аргумент, тоест да намалите синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл с произволна стойност до съответните показатели на ъгъла на интервалът от 0 до 90 градуса за по-голямо удобство на изчисленията.
Формулите за намаляване на функциите за синуса на ъгъл изглеждат така:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
За косинус от ъгъл:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Използването на горните формули е възможно при спазване на две правила. Първо, ако ъгълът може да бъде представен като стойност (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), стойността на функцията се променя:
- от грях към защото;
- от cos към грях;
- от tg до ctg;
- от ctg до tg.
Стойността на функцията остава непроменена, ако ъгълът може да бъде представен като (π ± a) или (2π ± a).
Второ, знакът на намалената функция не се променя: ако първоначално е бил положителен, той остава такъв. Същото с отрицателните функции.
Формули за добавяне
Тези формули изразяват стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на сумата и разликата на два ъгъла на завъртане чрез техните тригонометрични функции. Обикновено ъглите се обозначават като α и β.
Формулите изглеждат така:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β.
Формули за двоен и троен ъгъл
Тригонометричните формули за двоен и троен ъгъл са формули, които свързват функциите съответно на ъглите 2α и 3α с тригонометричните функции на ъгъла α. Изведено от формули за добавяне:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Преход от сума към произведение
Като се има предвид, че 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), опростявайки тази формула, получаваме идентичността sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. По същия начин sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Преход от произведение към сбор
Тези формули следват от идентичностите на прехода на сума към продукт:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Формули за намаляване на степента
В тези идентичности квадратните и кубичните степени на синус и косинус могат да бъдат изразени чрез синус и косинус на първа степен на кратен ъгъл:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Универсално заместване
Универсални формули тригонометрично заместванеИзразете тригонометричните функции чрез тангенса на половин ъгъл.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), като x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), където x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), където x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), като x = π + 2πn.
Особени случаи
По-долу са дадени специални случаи на най-простите тригонометрични уравнения (k е всяко цяло число).
Коефициенти за синус:
| Sin x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk |
Коефициенти за косинус:
| cos x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Коефициенти за тангенс:
| tg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Коефициенти за котангенс:
| ctg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Теореми
Теорема за синусите
Има две версии на теоремата - проста и разширена. Проста синусова теорема: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. В този случай a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са противоположните ъгли, съответно.
Разширена синусова теорема за произволен триъгълник: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В това тъждество R означава радиуса на окръжността, в която е вписан дадения триъгълник.
Косинусова теорема
Идентичността се показва, както следва: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Във формулата a, b, c са страните на триъгълника, а α е ъгълът срещу страната a.
Теорема за допирателната
Формулата изразява връзката между тангентите на два ъгъла и дължината на противоположните им страни. Страните са обозначени с a, b, c, а съответните противоположни ъгли са α, β, γ. Формула на теоремата за допирателната: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Теорема за котангенса
Свързва радиуса на окръжност, вписана в триъгълник, с дължината на страните му. Ако a, b, c са страните на триъгълника и съответно A, B, C са ъглите срещу тях, r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на триъгълника, следното самоличността е валидна:
- детско легло A/2 = (p-a)/r;
- легло B/2 = (p-b)/r;
- легло C/2 = (p-c)/r.
Приложение
Тригонометрията не е само теоретична наука, свързана с математически формули. Неговите свойства, теореми и правила се използват на практика от различни отрасли на човешката дейност - астрономия, въздушна и морска навигация, теория на музиката, геодезия, химия, акустика, оптика, електроника, архитектура, икономика, машиностроене, измервателна работа, компютърна графика, картография, океанография и много други.
Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните понятия на тригонометрията, с помощта на които могат да се изразят математически връзките между ъглите и дължините на страните в триъгълник и да се намерят необходимите величини чрез тъждества, теореми и правила.
Как да намерим синуса?
Изучаването на геометрия помага за развитието на мисленето. Този предмет е задължително включен в училищното обучение. В ежедневието познанията по този предмет могат да бъдат полезни - например при планиране на апартамент.
От историята
Курсът по геометрия включва и тригонометрия, която изучава тригонометрични функции. В тригонометрията изучаваме синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли.
Но засега нека започнем с най-простото нещо - синус. Нека разгледаме по-подробно първата концепция - синусът на ъгъл в геометрията. Какво е синус и как да го намерите?
Концепцията за "синусоидален ъгъл" и синусоиди
Синусът на ъгъл е съотношението на стойностите на противоположната страна и хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Това е директна тригонометрична функция, която се записва като "sin (x)", където (x) е ъгълът на триъгълника.
На графиката синусът на ъгъл се обозначава със синусоида със свои собствени характеристики. Синусоидалната вълна изглежда като непрекъсната вълнообразна линия, която лежи в определени граници на координатната равнина. Функцията е нечетна, следователно е симетрична около 0 в координатната равнина (излиза от началото на координатите).
Областта на дефиниране на тази функция е в диапазона от -1 до +1 в декартовата координатна система. Периодът на синусовата ъглова функция е 2 Pi. Това означава, че на всеки 2 Pi моделът се повтаря и синусоидата преминава през пълен цикъл.
Уравнение на синусоида
- sin x = a/c
- където a е катет, противоположен на ъгъла на триъгълника
- c - хипотенуза на правоъгълен триъгълник
Свойства на синуса на ъгъл
- sin(x) = - sin(x). Тази функция показва, че функцията е симетрична и ако стойностите x и (-x) са нанесени върху координатната система в двете посоки, тогава ординатите на тези точки ще бъдат противоположни. Те ще бъдат на еднакво разстояние един от друг.
- Друга особеност на тази функция е, че графиката на функцията нараства на сегмента [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], където n е всяко цяло число. Намаляване на графиката на синуса на ъгъла ще се наблюдава на сегмента: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
- sin(x) > 0, когато x е в диапазона (2Пn, П + 2Пn)
- (х)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
Стойностите на синусите на ъгъла се определят с помощта на специални таблици. Такива таблици са създадени, за да улеснят процеса на изчисляване на сложни формули и уравнения. Той е лесен за използване и съдържа не само стойностите на функцията sin(x), но и стойностите на други функции.
Освен това таблица със стандартни стойности на тези функции е включена в задължителното изследване на паметта, като таблица за умножение. Това важи особено за класове с физически и математически пристрастия. В таблицата можете да видите стойностите на основните ъгли, използвани в тригонометрията: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 и 360 градуса.
Има и таблица, определяща стойностите на тригонометричните функции на нестандартни ъгли. Възползвайки се различни маси, можете лесно да изчислите синуса, косинуса, тангенса и котангенса на някои ъгли.
Уравненията се правят с тригонометрични функции. Решаването на тези уравнения е лесно, ако знаете прости тригонометрични идентичности и редукции на функции, например, като sin (P/2 + x) = cos (x) и други. За такива намаления е съставена и отделна таблица.
Как да намерите синуса на ъгъл
Когато задачата е да се намери синус на ъгъл и според условието имаме само косинус, тангенс или котангенс на ъгъла, можем лесно да изчислим това, от което се нуждаем, като използваме тригонометрични идентичности.
- sin 2 x + cos 2 x = 1
От това уравнение можем да намерим както синус, така и косинус, в зависимост от това коя стойност е неизвестна. Можем да го направим тригонометрично уравнениес едно неизвестно:
- sin 2 x = 1 - cos 2 x
- sin x = ± √ 1 - cos 2 x
- детско легло 2 x + 1 = 1 / грях 2 x
От това уравнение можете да намерите стойността на синуса, като знаете стойността на котангенса на ъгъла. За да опростите, заменете sin 2 x = y и ще получите просто уравнение. Например стойността на котангенса е 1, тогава:
- 1 + 1 = 1/г
- 2 = 1/г
- 2у = 1
- y = 1/2
Сега извършваме обратната подмяна на плейъра:
- sin 2 x = ½
- sin x = 1 / √2
Тъй като взехме стойността на котангенса за стандартния ъгъл (45 0), получените стойности могат да бъдат проверени в таблицата.
Ако ви е дадена стойност на тангенса и трябва да намерите синуса, друга тригонометрична идентичност ще ви помогне:
- tg x * ctg x = 1
От това следва, че:
- креватче x = 1 / тен x
За да намерите синуса на нестандартен ъгъл, например 240 0, трябва да използвате формули за намаляване на ъгъла. Знаем, че π съответства на 180 0. По този начин ние изразяваме нашето равенство, използвайки стандартни ъгли чрез разширение.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Трябва да намерим следното: sin (180 0 + 60 0). Тригонометрията има редукционни формули, които са полезни в този случай. Това е формулата:
- sin (π + x) = - sin (x)
Така синусът на ъгъл от 240 градуса е равен на:
- sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2
В нашия случай x = 60 и P съответно 180 градуса. Намерихме стойността (-√3/2) от таблицата със стойности на функциите на стандартните ъгли.
По този начин могат да се разширяват нестандартни ъгли, например: 210 = 180 + 30.